книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfУстойчивость оболочек в пределах упругости |
181 |
к отрицательному значению нижнего критического напряжения |
он = |
= —0,13. В результате уточненного решения получается положитель-
~ |
0 1 |
& 0,11. |
ное значение сн = ■ |
* |
]Г\
Следовательно, величина о„, найденная в различных вариантах решения, колеблется в очень широких пределах, что свидетельствует о резкой чувствительности результатов применения вариационных методов к выбору аппроксимирующих функций.
Обратимся к данным, полученным в результате интегрирования дифференциальных уравнений с помощью ЭЦВМ, приведенным на
рис. |
35 |
[1 ]. По оси абсцисс отложен |
безразмерный прогиб в центре |
|
У |
по |
по оси ординат — величина |
~ |
_ |
ь = |
|
о. |
Здесь нанесены линии, соот |
ветствующие основным формам равновесия (эти формы показаны на
рис. 35). Наинизшая точка кривой соответствует величине стн = 0,067 при стреле прогиба и/ # 22,5/1. Следовательно, величина нижнего кри тического напряжения, полученная в этом решении осесимметричной задачи, лежит значительно ниже, чем это вытекает из решений по ме
тоду Ритца, и вместе с тем выше значения он = —0,13, полученного в одном из решений по методу Бубнова-Галеркина. Надо полагать, что коэффициент 0,067 не является окончательным и возможны дальнейшие уточнения. Приведенное решение построено на основе теории пологих оболочек, и результаты могут быть иными, если использовать уточнен ные уравнения. Кроме того, задача считалась осесимметричной. Во мно гих случаях при потере устойчивости реальных оболочек развивается ряд вмятин, заполняющих некоторую область оболочки; выпучивание сопровождается взаимным влиянием (интерференцией) вмятин. Учет такого характера выпучивания оболочки требует рассмотрения несим метричной задачи.
Данные теоретического исследования влияния начальных неправиль ностей формы показывают, что при стреле начальной погиби вмятины,
равной толщине оболочки, верхнее критическое напряжение ое сни
жается на 39% по сравнению с ов для оболочки идеальной формы. Экспериментальные данные показывают [1 ], что имеющиеся теорети
ческие исследования далеко не охватывают всего диапазона различных
182 |
Устойчивость оболочек |
форм |
потерн устойчивости в большом. Экспериментальные значе |
ния критического напряжения характеризуются значительным разбро сом и зависят от величины угла, охватываемого сегментом. Введем
параметр, характеризующий |
кривизну |
сегмента, |
по |
формуле |
(см. |
||
рис. 32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= К |
12(1 - V 2) - щ |
; |
|
|
(236) |
|
примем 0 |
180°. |
|
|
|
0 = |
9-т- 45°, |
пара |
Для стальных оболочек с полным углом охвата |
|||||||
метром № = |
де |
800-ь3900, испытанных путем создания |
|||||
70-ь350 и -^ - = |
|||||||
* |
- |
|
0,606 |
■до |
0,606 |
при испыта- |
|
вакуума, было получено сг в пределах от - ^ ^ |
^ |
||||||
|
|
- |
’ |
0,606 ’ |
0,606 .. |
нии давлением масла величина о составляла от —5-5— до - 0 г . . Испы- о,о
тания при постоянном объеме дают меньшее рассеяние эксперименталь ных точек, чем при постоянном давлении. В случае медных оболочек
при 0 = 106н-140°. |
X2 = 1700-^2350 |
и -5 - = |
813-ь 860 получались |
наименьшие значения |
~ |
0,606 |
,606 |
о в пределах от —^ ^ ■до ■^ |
Можно считать, что реальные критические напряжения акр подъеми стых сферических сегментов лежат между верхним критическим значе
нием св = 0,605 и нижним значением, которое условно будем считать
он = |
0,155. Вместе с тем, расчетные значения орасч должны зависеть |
||
от угла, охватываемого сегментом, параметра кривизны X2 и отноше- |
|||
ния |
де |
|
|
Хотя теоретически нижнее критическое напряжение не свя- |
|||
зано с отношением |
Я |
Я |
|
|
при больших значениях-^- надо ожидать зна |
||
чительных начальных |
неправильностей в форме оболочки, что ведет |
к снижению окр. Впредь до накопления новых теоретических и экспери ментальных данных в практических расчетах следует исходить из раз-
л |
О |
личных значений оРасч в зависимости от отношения |
. Можно поль |
зоваться приведенными в табл. 2 ориентировочными данными для срасч н критического давления драСц относящимися к тщательно изготовлен ным оболочкам.
2. Расчетные значения напряжений и нагрузок для сферических оболочек
Я |
<250 |
|
|
500 |
|
|
750 |
1000 |
1500 |
н |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°расч |
0,15 |
„ |
|
0,12 |
Л |
0,10 |
0,08 |
0.07Б |
|
|
|
|
ЕЬ2 |
|
ЕН2 |
„ „ ЕН* |
„ .. ЕНЛ |
||
Чрасч |
м о - ж |
0.24------ |
0.20 |
К* |
0 .1 6 - ^ - |
|
|||
|
’ |
к 2 |
' |
|
|
|
Устойчивость оболочек, в пределах упругости |
183 |
При начальных прогибах, достигающих величины порядка толщины оболочки, эти значения следует снизить приблизительно в 1,5 раза.
Для оболочек с отношением |
= |
400-г-2000 и углом 0 = 40-М200 |
рекомендуется экспериментальная |
формула |
|
Ярасч = О.ЗЙЕ |
/ А \2 |
|
у ) |
коэффициент к находят по формуле
0° — 40° |
*А )- |
|
Эллипсоидальные оболочки
При расчете эллипсоидальных оболочек следует различать вытяну тые оболочки (а <С Ь, рис. 36) и сплющенные (сжатые) оболочки (а > Ьл рис. 37).
^Задача об устойчивости эллипсоидальной оболочки, подвергающейся действию внешнего равномерно распределенного давления д, родственна аналогичной задаче, относящейся к сферической оболочке: в обоих
случаях речь идет об образовании местных вмятин. Для вытянутой эл липсоидальной оболочки главные радиусы кривизны являются наиболь шими в зоне экватора 1 (рис. 36), где и следует ожидать появления вмя тин. Значение верхнего критического давления
2Е |
Л2 |
& 1,21 |
Е |
(237) |
Яв = |
262 — а2 |
|||
/ 3 (1 — V2) |
|
|
|
В случае сплющенной оболочки следует ожидать появления первых
вмятин в зоне полюсов А, В. Главные кривизны в полюсах |
= К» = |
ц2 |
|
= -^-; заменяя в формуле (220), относящейся к сферической оболочк
величину |
отношением -т-, |
получим выражение для сплющенной эл- |
|||
|
о |
|
|
|
|
лнпсоидальной оболочки |
|
|
|
|
|
|
2Е |
|
к2№ |
1.212 П~ |
(238) |
|
Яв = |
|
I* |
||
|
/ 3 ( 1 - V 2 |
|
|
|
184 |
Устойчивость оболочек |
Если сплющенная оболочка подвергается действию внутреннего
давления, при а > Ь У 2 кольцевые напряжения в оболочке будут сжи мающими. Максимальные сжимающие напряжения будут у экватора, где и образуются начальные вмятины. Критическое давление в этом случае
2 Е |
Л- |
1,21 |
Е |
(239) |
|
|
Чв=Т Щ г = Щ '
Практические расчеты эллипсоидальных оболочек надо вести по величине значение которой составляет приблизительно такую же долю от <7е, как и для сферических оболочек.
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ
Исходные зависимости
Оболочка считается пологой, если стрела подъема И не превышает 1/ьот наименьшего размера в плане. Примеры пологих оболочек пока заны на рис. 38. Поперечная нагрузка может быть направлена нор мально к срединной поверхности (давление газа или жидкости) или
перпендикулярно к основной плоскости (собственный вес оболочки, вес снега для покрытии и т. д.).
Для расчета на устойчивость пологой оболочки важно исследовать
большие прогибы с позиций нелинейной теории. Различные варианты диаграммы нагрузка — стрела прогиба для оболочек различной кри визны показаны на рис. 39. Если оболочка весьма пологая (рис. 39, а), параметр нагрузки ц монотонно возрастает с увеличением стрелы про гиба /; диаграмма имеет точку перегиба С. На первом участке ОС жест кость оболочки падает, на втором — возрастает. На рис. 39, б показана зависимость для оболочки, имеющей начальную стрелу подъема, сравнимую с толщиной; график имеет предельную точку А , соответ ствующую верхней критической нагрузке, и точку В, соответствующую нижней критической нагрузке. При известных условиях — в случае мертвой нагрузки — становится возможной потеря устойчивости прощелкнванием оболочки к новому устойчивому равновесному состоянию. Зависимость ц ([), изображенная на рис. 39, в, соответствует оболочкам большой кривизны; ветвь АВ неустойчивых состояний лежит вблизи
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
185 |
начальной ветви ОА. В рассматриваемом случае ирощел кивание ста новится возможным при любом поведении нагрузки. На рис. 39, г показан пример, когда прогиб в центре оболочки на некотором этапе нагружения уменьшается и диаграмма у (/) становится петлеобразной, что связано с изменением формы волнообразования.
При исследовании больших прогибов пологих оболочек можно использовать два подхода. Первый из них состоит в непосредственном использовании уравнении теории оболочек. Приведем основные соот ношения того упрощенного варианта теории оболочек произвольного очертания, в котором оболочка считается пологой, по крайней мере, в пре делах отдельной вмятины [1]. Координатные оси х, у направим вдоль липни кривизны срединной поверхности. Перемещения и, V точек сре
динной поверхности отсчитывают вдоль линий кривизны х, у; пере
мещения ш — по нормали к срединной поверхности. Через кх = — ,
1 |
|
|
|
|
|
кривизны |
|
*х |
|
Ьу = -я- обозначают |
|
|
|
|
оболочки — начальные |
||||
Ну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривизны линий X, у. |
|
и сдвига в срединной поверхн |
|||||||
Деформации удлинения |
|||||||||
|
ех = |
ди |
. |
|
|
I |
/ дсу V |
|
|
|
|
— кхм + |
2 ~ \д х ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
д о |
|
|
|
I |
/ ди> \ 2 |
|
(240) |
|
|
|
- V |
|
' 4 - — |
( |
; |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
\ дткг)у |
|
|
|
_ |
ди_ ,до_ |
, дм |
дни |
|
|
|||
|
^ |
ду |
дх |
дх |
ду * |
|
|
||
Эти величины |
связаны |
уравнением совместности деформаций |
|||||||
|
|
__ |
________! _ //и1 |
мЛ__„2 |
(241) |
||||
ду* |
дх3 |
|
дх ду |
----------и>) — у Ки>2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
где под Ь (ад, ад) |
понимается |
выражение (32), |
а под |
— оператор, |
|||||
|
|
=Ь |
<Рш |
+*.Б- |
|
(242) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменения кривизн определяются формулами (3).
186 |
Устойчивость оболочек |
Соотношения Гука получаются в виде приведенных ранее уравне ний (8) и (9). Первые два уравнения равновесия (5) также остаются прежними. Третье уравнение равновесия имеет следующую форму:
|
С V5У2® = Чхк ( Ь х + |
) |
+ |
|
||||
|
+ аУн ( кУ + -^р г) + |
2тА |
д2т |
+ |
(243) |
|||
|
дх ду |
|||||||
где д — интенсивность поперечной нагрузки. |
|
напряжения |
||||||
Вводя в |
уравнение |
совместности |
деформаций (241) |
|||||
по соотношениям упругости (14), получим |
|
|
|
|||||
_1_ Гд2(?х |
2 дН |
д*ои |
V |
/ |
д2ах |
+ 2 |
д2т |
|
Е |_ ду2 |
дх ду |
ду2 |
\ |
ду2 |
дхду + |
|
||
|
|
_1_ |
Ь (и>, |
“») — У ^ 1. |
|
(244) |
||
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
Выразим напряжения о*, Оу, т в равенствах (243), (244) через функ цию напряжений Ф по формулам (16); тогда придем к уравнениям
- у V4» = |
1 (а>, ф) + Ук® + |
; |
(245) |
- 1 - у 4ф = |
-----(. (со, О))— у*». |
|
(246) |
Оператор Ь в применении к функциям ш, Ф определяется выраже нием (36).
Принимая в уравнениях (240)—(241), (245)—(246) кх = 0, ку =
приходим (при = 0) к приведенным ранее выражениям (30)—(31), (34)—(35)', отвечающим случаю круговой цилиндрической оболочки.
Допустим теперь, что оболочка имеет начальные прогибы о>0 (х, у). Обозначим через ау полный прогиб; выражения для деформаций (240) будут иметь вид
ди . |
1 |
/д и >\2 |
1 ( |
дщ \ 2 |
|
||
|
|
|
|
- т |
{ - д Г ) |
> |
|
до |
|
1 |
/ а ш \ 2 |
1 ( дщ \2 |
(247) |
||
~дУ |
|
|
|
— |
2 - ( т г ) |
||
|
|
|
: |
||||
|
ди ,до_ |
дш_ |
дш_ |
дщ |
дщ |
|
|
V “ |
~ду ^ дх |
дх |
* ду |
дх |
ду |
' |
|
Основные соотношения (245)—(246) принимают форму |
|
||||||
- у |
V4 (“>— к>0) |
= Ь (а . ф) + у*Ф + |
; |
(248) |
V4® = — |
(“>. а>) — Ь (“V “'о)] — Ч к (®—®о)- (249> |
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
187 |
|||||||
Вводя в уравнения (248)—(249) вместо полного прогиба ш дополни |
||||||||
тельный прогиб |
= но — а>0, перепишем их в развернутом виде: |
|||||||
В 4 |
д2Ф / д*щ |
д*щ '\ |
, |
а=ф / |
д2щ |
д2щ \ |
||
- |
дх- V ду* |
) + |
дф ( ' дх2 + |
дх2 |
) |
|||
|
( д*щ |
|
|
|
|
д-ф |
|
■(248а) |
дхду |
V дхду |
1 дхду ) + кх |
ду2 + ■ку дх3 |
+ “Г |
||||
|
/ д'2щ |
\2 |
|
|
|
д2щ |
|
|
Ф “ |
|
) |
дх2 |
ду2 + 2 дх ду |
дх ду |
|
||
д*щ |
д*ш0 |
д-ш. |
д'2ы>п |
|
а2ш, |
г |
д2щ |
|
дх* |
ду2 |
ду2 |
* дх'2 ~ |
|
к х ~дф |
Ку |
дх2 |
(249а) |
Другой подход состоит в рассмотрении оболочки как пластинки с начальной погибыо.
Пусть контур оболочки прямоугольный, в этом случае удобно ввести декартовы координаты х, у, откладываемые в основной плоскости 1—4 вдоль сторон контура (рис. 40). Началь ное положение точек срединной поверхности определяется координатой г. Прогиб [^отсчи тывают от исходной срединной поверхности параллельно оси г. Уравнения, отвечающие данной трактовке, получим, положив в зави симостях (248а), (249а) кх = ку= 0 и вводя г вместо ш0; тогда придем к следующим соот ношениям:
2_ |
|
|
|
|
, |
&г |
\ |
|
д2Ф |
{ д-щ |
&г \ |
|
Л |
У |
|
дх2 \ ду2 |
+ |
ду2 |
) |
+ |
ду2 |
|
+ |
дх2') ~ |
|
|
|
|
о Д'Ф |
( |
д~У\. |
. |
|
\ |
, |
Ч . |
(250) |
|
|
|
|
дх ду |
\ |
дхду |
~г |
дх ду ) |
' |
Л 1 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
^ (Т , |
_ |
( &<г>1 \Д |
|
3-Ш| |
У в ч |
, 0 |
дГ-щ |
&г_ |
|||
Е |
7 ф |
_ |
дхду ) |
|
дх2 ' |
ду2 |
' г |
дх ду |
дх ду |
|||
|
|
|
д2Ы)1 |
|
дЧ |
|
|
дЧ |
|
(251) |
||
|
|
|
~д^~ |
|
ду1 |
|
ду°- |
дх1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
При использовании этого подхода размеры оболочки целесообразно представлять как размеры в плоскости ху.
Если центральный угол 2<р, охватываемый наибольшим размером оболочки, настолько мал, что можно принять соз <р & 1, з1п ср = ф, то системы уравнений (248а)—(249а) и (250)—(251) являются эквива лентными.
Панель, прямоугольная в плане
Рассмотрим случай панели, имеющей прямоугольное очертание в плане (см. рис. 38, а). Главные кривизны кх, ку принимаем постоян ными. По краям оболочка шарнирно скреплена с ребрами, абсолютно жесткими на изгиб в направлении нормали и имеющими малую
188 Устойчивость оболочек
жесткость на изгиб в плоскостях, касательных к срединной поверхности. Будем считать, что точки, принадлежащие концевым сечениям оболочки, свободно скользят вдоль ребер. Принятым допущениям соответствуют
следующие граничные условия для краев х = |
0, х = |
а: |
|
а» = 0; |
= 0 ; Ох = 0; |
т = 0. |
(252) |
Аналогичные условия будут для краев у = |
0, у = |
Ь. Оболочка испы |
тывает действие поперечной нагрузки интенсивностью <7, равномерно распределенной по всей поверхности.
При решении задачи используем уравнения (248а)—(249а); при
мем ю0 = 0 и запишем их в виде |
|
|
|
|
Х = - % - ч * щ - Ц Ф , |
щ ) - ь х ^ |
- к у ^ |
- -----2 - = 0 ; |
(253) |
Г =~Ё~ V4® + -§ ~ 1 |
+ |
кх1 % г + |
к»1& ~ = °- |
(254) |
Функции прогиба и напряжений аппроксимируем с помощью сле дующих выражений:
Щ |
= |
[ г 51П — 31П |
о ’ |
Ф = А х 51П — 51П |
о |
. |
(255) |
|
|
а |
а |
|
|
||
Первые |
три |
граничных |
условия |
типа (252) удовлетворяются на |
всех кромках; четвертое условие — лишь «в среднем»; так, для кромок
ь
х = 0, х = а это условие вы няется в виде — I т йу = 0. Урав-
(X V
а
нения Бубнова-Галеркина в применении к двум уравнениям системы (253)—(254) можно записать
аЬ
| |
| |
X 51П ■— 51П |
йх Ау = 0; |
|
о |
о |
|
|
|
а Ь |
|
|
|
|
| |
| |
У 5Й1 ■—- 5Ш ^ - й х й у = 0. |
(256) |
|
о |
о |
|
|
|
Подставив в уравнение (256) выражения (253)—(255), после инте грирования приходим к системе двух уравнений, из которых получаем следующую зависимость между нагрузкой и прогибом:
+ |
(257) |
|
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
189 |
|||||||
здесь введены безразмерные |
|
параметры |
|
|
|
||||
кха2 |
|
ЬУЬ2 |
к |
= кх -{- ку\ |
|
|
|
||
|
|
|
ку ~ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = |
- |
|
|
' аЬ \2 |
|
|
(258) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для квадратной |
панели |
(а = Ь) |
при V = 0,3 |
будет |
|
||||
|
д* = 8.77С3 — 2,46/г*^2 + (0,154/г*2 + |
22) ^ |
(259) |
||||||
В случае круговой цилиндрической оболочки, если координату г/ |
|||||||||
отсчитывают вдоль дуги, надо принять кх = 0, ку = |
И |
параметр А;* |
|||||||
будет к* = |
Д/Г Для сферической оболочки кх = |
|
|
при с = 5 |
|||||
величина к* = |
252 |
|
|
|
|
|
|
||
ДЛ |
|
|
|
|
|
|
|||
Графики |
|
|
|
|
|
Л* приведены на |
|||
<7* (5) по формуле (259) для различных |
рис. 41 штриховыми линиями. При малых к* величина д* непрерывно
возрастает, как и в случае плоской панели. При больших к* диаграмма получает нисходящий участок. Для определения предельного значе ния /г*, при котором становится возможным прощелкивание, исследуют
производную-^—-. Приравнивая ее нулю, находят значения С» отве
чающие верхней и нижней критическим нагрузкам:
1 \4
190 |
Устойчивость оболочек |
|
В точке, |
определяющей границу прощел кивания, диаграмма |
(ф |
имеет точку перегиба с горизонтальной касательной. В этом случае подкоренное выражение в формуле (260) обращается в нуль. Предельное значение к* будет
я* ( х + х ) а |
при Г = — к* |
1^ 6(1 • - V 3) |
ь 32 |
При достаточно малых значениях кривизн прощелкивание оболочек будет исключено (см. рис. 41), однако в этих случаях начальный участок диаграммы имеет малый угол с осью абсцисс, и жесткость оболочки ока зывается. незначительной. Поэтому важно возможно точнее определить
9в и Ян Для оболочек относительно
большой кривизны.
В уточненных решениях функ ции и»иФ выражаются в виде рядов
VI г |
1 ях |
ту |
|
|
1.1 |
. тх . |
ту |
|
|
Ф = |
(261) |
|||
' з1п----- зт -Ц г“ |
||||
|
а |
Ъ |
|
й /
Решение будет тем точнее, чем большее число членов удерживается в рядах (261). Уточненные диа граммы, полученные по результа там решения, выполненного с по мощью цифровой электронной машины, приведены на рис. 41 сплошными линиями. Отличие от данных первого приближения ока
зывается существенным, начиная с к* «а 36. Уточненные решения дают несколько меньшие верхние критические нагрузки; при этом заметно возрастает нижняя критическая нагрузка.
На рис. 42 показана зависимость верхней и нижней критических нагрузок от параметра к* для панелей с различным отношением сторон по данным четвертого приближения при V = 0,3. Прощелкивание
будет при к* > |
18 для X = 1, при к* >►20,4 для X. = |
и ПРН > |
> 30 для X = |
0,5. |
|
Если в решении исходить из аппроксимирующего выражения для Ф в виде Ф = С/ (х) V (у), где V и V — «балочные» функции, удовлетво ряющие условию защемления балки по краям, то четвертое граничное условие (252) может быть выполнено во всех точках края. При этом для квадратной панели в уравнении (259) заметно изменяется только коэф фициент при р ; он оказывается равным 7,48 вместо 8,77.