книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfТонкостенные стержни |
61 |
30. Значения коэффициента длины V |
|
Схема |
Коэффициент длины V |
/ |
Т |
> |
Т |
1 |
|
|
ЯГ**- |
|
|
2 |
|
|
|
|
— |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
/ . |
Т |
Т / |
|
0,7 |
*г ± --------- аС
'н ? -----------------^
А ? — ^ 2
(изгиб из плоскости симметрии, сопровождаемый закручиванием се чений). В рассматриваемом случае чисто крутильная форма потери устойчивости невозможна.
При граничных условиях (49) система дифференциальных уравне ний (53) удовлетворяется решениями (50). При этом можно получить
критическую силу
ПгЕЗи
(54)
соответствующую изгибу в плоскости симметрии, а также уравнение для определения критических сил Р = Р1% Р = Р г, определяющих появление изгибно-крутильной формы потери устойчивости,
Р х - Р |
Рах |
(55) |
Рах |
= 0. |
|
|
|
В этом уравнении Рх и Рш находят по формулам (52).
62 |
Устойчивость стержней |
Корни квадратного уравнения (55) имеют вид
Рг
(Рх + Рш)2-4 Р х Р ш
(56)
Рх + Р(а +
А
+(Рдг + Яш)* -4 Р х Р ш
Так как Р х < Р 2, то расчетное значение критической силы опреде ляется как наименьшее из значений Ру и Р х. Если Ру <^ Р1%то раньше возникает нзгибная форма потери устойчивости (изгиб в плоскости сим метрии), если же Р у> Р1, то раньше наступает нзгибно-крутнльная форма потери устойчивости (изгиб из плоскости симметрии, сопрово
ждаемый закручиванием сечений). С уменьшением длины стержня отно шение Р1 : Ру возрастает и вместе с этим становится все более возмож ным, что расчетной окажется изгибно-крутильная форма потери устой чивости. В качестве примера на рис. 55, а показано сечение дуралю-
минового |
стержня, а на рис. 55, б — графики |
критических сил Рх |
и Ру в зависимости от длины стержня I. При I < |
160 см расчетной ока |
|
зывается |
изгибно-крутильная форма потерн устойчивости. |
При изгибно-крутильнон возмущенной форме равновесия стержня центр поворота сечении не совпадает ни с центром тяжести, ни с центром изгиба; координата сх центра поворота определяется формулой
ах. |
/Е-Т* |
Т о н к о ст е н н ы е ст е р ж н и |
63 |
Общий случай поперечного сечения. В общем случае для определе ния критических значений сжимающей силы нужно исходить из полной системы дифференциальных уравнений (47). При граничных условиях (49) критические значения являются корнями уравнения:
Р у - Р |
О |
—Рау |
|
|
О |
Рх - Р |
Р“х |
= 0 , |
(58) |
— Раи |
Рах |
( ' • - ' К |
|
|
|
|
|
|
которому можно придать вид
ОзР** ■}' о,/*- а^р о, = О*» |
(59) |
здесь
(60)
Трем корням кубического уравнения (59) соответствуют три различ ные изгибно-крутильные формы равновесия; чисто изгибная форма рав новесия в общем случае невозможна. Наименьший из корней прини мается за расчетное значение критической силы. Этот корень всегда меньше, чем Рх% Ру или Р
Внецентренно сжатые стержни
В общем случае внецентренного сжатия ось стержня перестает быть прямолинейной, а сечения стержня закручиваются. При этом упругое равновесие стержня описывается системой дифференциальных уравнений
здесь ех и еу — координаты точки приложения сжимающей силы в си стеме главных центральных осей;
(62)
64 Устойчивость стержней
При ех = еу = 0 система дифференциальных уравнений (61) пере ходит в систему дифференциальных уравнений (47), относящихся к слу чаю центрального сжатия.
Случай, когда сила приложена в центре изгиба сечения. При этом
ех = |
ах и еу = ау и система дифференциальных уравнений (61) распа |
|||||||
дается на три независимых уравнения |
|
|
|
|||||
|
|
ГГ |
й*и |
I |
Р *~и |
- 0; |
|
|
|
|
|
|
|
4г2 |
|
|
|
|
|
Р1 |
^ |
+ |
р |
- О* |
|
(63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
[(гр -Ь 2Млг + |
2$уау) Р — ^ к ] |
42ф |
°- |
|||
|
- |
|||||||
Первые два уравнения соответствуют изгибным возмущенным фор |
||||||||
мам |
равновесия, |
а третье — чисто крутильной |
форме |
равновесия. |
При граничных условиях (49) соответствующие критические значения
нагрузки |
определяют |
по формулам |
|
|
|
Рх = |
л2Е^x |
|
и |
|
Ри = ~ |
|||
|
|
|
|
(64) |
|
|
гр + |
2$хах + |
2Руау |
Сечение |
имеет одну ось симметрии |
и сжимающая сила приложена |
в одной из точек этой оси. Пусть ось х совмещена с осью симметрии
поперечного сечения. Тогда еу = |
0; ау = |
0 и система дифференциальных |
||||
уравнений (61) принимает |
вид |
|
|
|
|
|
|
Е1У |
4*и |
, п <Ри |
0; |
|
|
|
4г* |
4г2 = |
|
|||
4*0 |
р й2о |
0 . |
|
42у |
п |
|
йг* |
+ Р |
<1г* |
Р(а* |
ех) й2 - -0, |
||
|
|
|
|
|
|
(65) |
- 1 Г + [ Р (Г1 + 2РЛ) - |
™*] % |
~ |
||||
|
_ Р (а х _ |
в, ) ^ |
= |
0. |
|
Первое уравнение определяет чисто изгибную форму потери устой чивости, которой соответствует критическая сила
п2Е^и
(66)
I2
Тонкостенные стержни |
65 |
Два последних уравнения системы (65) определяют изгибно-кру- тильные формы равновесия. Соответствующие им критические силы
являются |
корнями уравнения |
|
|
|
|
|
|
Рх — Р |
|
|
р (ах — ех) |
(67) |
|
|
Р( “х - е х) |
р Л |
~ |
р (г1 + 2Ра ) |
||
|
|
|||||
Эти корни определяют по формулам |
|
|
||||
|
Р 1 = - ^ - ( а 1 - К О ? - 4 «0а2 ): |
(68) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р 2 = |
(°1 + У |
а\ ~ |
4аЬа 2 )- |
|
|
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
а0 = |
РхР (йГр' |
|
|
|
|
|
^ = Р х ( г 2 + ^ х ) |
+ Р Л • |
(69) |
|||
|
а2 = |
'*р + 2Р |
Л |
- ( ^ - “ ^ ) 2- |
|
|
Расчетным является меньшее из значений Ру и Я1в |
(50) можно рас |
|||||
Общий |
случай поперечного |
сечения. Выражения |
сматривать как выражения для вариаций перемещений на любом уровне нагружения. Обозначив наибольшие значения этих вариаций через и0, о0, ср0, получим однородные соотношения
|
|
(Ру — Р)и0 — Р (а„ — еу) у = 0; |
|
|||||||
|
|
(.Рх — Р )ь0 + Р (ах — ех) ф0 = |
0; |
|
||||||
|
|
—Р (ау — еу) ЩН- Р (ах — &х) |
|
|
|
|||||
|
+ |
[Р< аг 1 |
— р ( г 1 + |
2 Р х ех |
+ |
2Р<А/)] |
= |
0; . |
||
отсюда следует |
кубическое |
уравнение, |
определяющее критические |
|||||||
значения нагрузки, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
аэР3 + |
а2Р3 + агР + |
с0 = |
0, |
(71) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 — РхРуРщгр' |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а\ = |
Р(О (Рх "Ь Ру) г р |
РхРу ( гр "Ь 2 |
$хех "Ь 2Р л )* ’ |
|||||||
°2 = |
Р (мг1 + ( Рх + Ру) (гр + 2$хех + 2$уеу) |
(72) |
||||||||
|
||||||||||
|
— Рх (ау — еу)2— Ру {ах — ех)г\ |
|
|
|
||||||
й3 = |
{ ах |
ех) |
“Ь ( ау |
еу) |
(гр ~Ь Щхех + |
2$уеу ) ‘ |
Наименьший из корней уравнения (71) принимают за расчетное значение критической силы.
66 |
Устойчивость стержней |
Устойчивость при поперечной нагрузке
При действии поперечной нагрузки, проходящей через центры изгиба сечений и параллельной одной из главных осей, происходит изгиб, не сопровождаемый закручиванием. Однако при достижении нагрузкой некоторого критического значения эта изогнутая форма равновесия перестает быть устойчивой и возникает новая возмущен ная форма равновесия, характеризуемая закручиванием стержня. Особенно большое практическое значение это явление имеет в случаях поперечного изгиба узких высоких балок в плоскости наибольшей жесткости. Случай прямоугольного и двутаврового поперечного сече ния см. стр. 66—76.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА*
Общие сведения
Более высокую прочность и жесткость имеют балки с узкими и высо кими сечениями. Однако в этих случаях возникает опасность потери устойчивости плоской формы изгиба. Такой вид потерн устойчивости называют опрокидыванием; при опрокидывании балка скручивается, а ее ось изгибается в плоскости
наименьшей жесткости.
|
|
|
О б о з н а ч е н и я |
(рис. |
56): |
|
|
|
|
Ву = Е^у — жесткость |
при изгибе |
||
|
|
|
в плоскости хг (наименьшая жест |
|||
|
|
|
кость); Вх = Е^x — жесткость |
прн |
||
|
|
|
изгибе в плоскости уг (наибольшая |
|||
|
|
|
жесткость); |
С = 0 ^к — жесткость |
||
|
|
|
свободного |
кручения; Мг — крутя |
||
|
|
|
щий момент; Мх, М у—изгибающие |
|||
моменты соответственно в плоскостях уг и хг; |
0.x и 0.у — поперечные |
|||||
силы в направлениях |
осей х |
и у; ср — угол поворота сечения вокруг |
||||
продольной оси г. |
|
приведены в табл. 31. |
|
|
||
Типы |
опорных устройств |
|
|
|||
|
|
31. Типы опорных устройств |
|
|
||
Схема |
Характеристика |
Опорные реакции |
|
|||
опорного устройства |
|
|||||
1 |
|
|
|
Мх\ Му, Л4г; |
|
|
|
|
Полная |
заделка |
|
||
~ = |
^ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
2 |
_ |
|
|
Мх = 0; |
Му\ Мг, |
|
<---- |
Заделка |
в плоскости хг, |
||||
|
шарнир в плоскости уг |
ях -. яи |
|
|||
1 |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
• Написано совместно с В. Ф. Луковниковым.
Устойчивость плоской формы изгиба |
67 |
Схема
7
п
----------- + *
и4
4
--------- ^
5
—р
Я!
Характеристика опорного устройства
Шарнир в плоскости хг, заделка в плоскости уг
Шарнир л плоскости хг, направляющие в пло скости уг
Шарниры в плоскостях хг
и уг
Продолжение табл. 31
Опорные реакции
Мх; Му = 0; Мг\
<?*•
м х = 0; Му = 0; Му,
*х- <*у = 0
Мх = 0; Му *= 0; Му
Балка с узким прямоугольным сечением (полоса)
Основное дифференциальное уравнение задачи, описывающее воз мущенную форму равновесия, имеет вид
м \
<Р” + 1 ^ Г <Р= 0:
в общем случае оно имеет переменные коэффициенты. Интегрированием уравнения (73) и подчинением решения соответствующим граничным условиям получены результаты для ряда частных задач (табл. 32).
Результаты, приведенные в табл. 32, получены в предположении, что
отношение сторон сечения весьма мало и изгибом в плоскости уг
можно пренебречь. Однако опрокидывание может произойти и в случаях,
когда отношение сторон не очень мало, но длина I достаточно велика.
В этих случаях можно пользоваться теми же выражениями для крити ческих нагрузок, но с несколько большими значениями коэффициентов.
Так, для схемы 2 п р и -^ - = - ^ - ; |
вместо коэффициента 4,01 |
соответственно получится 4,08; 4,32; 5,03. |
|
Если консольная полоса имеет |
переменную высоту, меняющуюся |
по закону, |
______ |
Л — |
1 |
» |
(74) |
68 |
Устойчивость стержней |
32. Критические нагрузки для некоторых случаев нагружения полосы
О
'С е е е е В
5 |- - е—|Р ________
Критическая нагрузка
п1Лвус
М кр~ |
21 |
При потере устойчивости плоскость действия пары сохраняет неизменную ориентацию в системе подвижных осей, жестко связанных с перемещающимся торцовым сечением
4,01 ]/"ВуС
12,85 УВуС
= Т*
пУВуС
* У вус
кр 12
а:1 | 0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
56,01 29.11 21,01 17,82 16,94
28,31 У ВуС
|
|
|
2" УГвис |
|
|
кР |
I |
7- |
|
КР ~ |
44.5 У В уС |
д ~ ~ — |
& |
/2 |
|
|
|
Устойчивость плоской формы изгиба |
69 |
||
|
|
Продолжение табл. 32 |
|
Схема |
Критическая нагрузка |
||
5 |
|
5,56 ]/"В^С |
|
|
|
|
|
Г |
Ркр |
г- |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
(«,0^= 15,95-----— |
|
|
11 |
|
56,5 у в |
? |
, |
. |
||
\ |
2 }кр |
Г- |
|
то критическое значение полной нагрузки 0.кр определяют по формуле
|
Л |
_ |
т V в ус |
|
|
(75) |
|
ЧкР = |
-------р----- |
|
|||
Коэффициент т зависит от значен |
|
корня |
и вида на |
|||
гружения (табл. 33). |
|
|
|
|
|
|
33. Значения |
коэффициента |
т в формуле (75) |
|
|||
Способ нагруженн |
|
|
|
|
п |
|
|
|
4 |
2 |
1,333 |
1 |
|
|
|
|
||||
Сосредоточенная сила на кон |
3,61 |
3,21 |
2,81 |
2,40 |
||
це (см. схему 2 в табл. |
32) |
|
12,8 |
11,2 |
10,4 |
9,60 |
Распределенная нагрузка |
(см. |
схему 3 в табл. 32)
Формулы для определения критических нагрузок на полосу с кру говой осью приведены в табл. 34.
В более сложных случаях нагружения критические значения нагру зок определяют энергетическим методом. Часто практикуют тригоно метрическую аппроксимацию функции <р. Более точные результаты получают в том случае, когда для приближенного выражения ф (г) принимают функцию прогиба балки, закрепленной и нагруженной так же, как и исследуемая полоса (в плоскости наименьшей жестко сти). Такие функции автоматически удовлетворяют всем граничным условиям и достаточно точно отражают действительную деформацию балки.
Ряд полученных таким способом результатов приведен в табл. 35.
70 |
Устойчивость стержней |
:14. Критические нагрузки для некоторых случаен нагружения полосы с круговой осью