книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Светлой памяти брата посвящается эта книга

Г л а в а I

МАТРИЦЫ

§ 1. Исходные определения и обозначения

Матрицей называется прямоугольная таблица, состав­ ленная из элементов (объектов) некоторого класса Di.

Матрицы могут быть набраны из объектов самой разной природы (чисел, векторов и т. п.). В этой книге почти всегда (кроме некоторых специально оговариваемых случаев) под классом di подразумевается какое-нибудь числовое поле.

Объекты, из которых составлена матрица, называются ее элементами. Положение элементов в матрице обычно отмечается двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. При этом матрица представляется в виде

Число строк и число столбцов матрицы характеризуют

ее размеры. Матрица, состоящая из т строк и п столбцов, называется прямоугольной матрицей с размерами т Х п, или т X п-матрицей, или матрицей типа т х п.

Прямоугольные матрицы с размерами т X 1 и 1 X л, называются соответственно столбцовой и строчной матри­ цами. Для столбцовой и строчной матриц можно ограничить­ ся одноиндексным обозначением элементов:

Строчные и столбцовые матрицы иногда будем называть векторами.

Сокращенно т Х п - матрицу будем обозначать (а^)тл или же одной прописной (или строчной) буквой, например А, имея в виду, что А = (% )т „*

Прямоугольная матрица, у которой число строк и число столбцов одинаковы, называется квадратной матрицей. Число л, равное числу строк (столбцов) квадратной матри­ цы, называется ее порядком. Место расположения элементов

au (i =	1, 2,	п) квадратной матрицы (ц^)пл называется
главной	диагональю. Определитель
		ап	а12	#1п
		#21	# 2 2	#2л
		ап\	Яп2

квадратной	матрицы с	я 2 числами	из числового поля di
есть сумма	п\ членов	(— l / (A,,*f	a\k1a2kt ...anknt каж­

дый из которых соответствует одному из п\ различных пере­ становок kly k2, ..., kn, полученных t попарными транспо­ зициями элементов из множества 1,2, п. Число п есть порядок определителя. Определитель квадратной матрицы принято сокращенно обозначать через | А | или det А. Итак,

по определению

П

( 1. 1)

Далее предполагается, что с основными свойствами опре­ делителей читатель знаком.

Квадратная матрица называется вырожденной (особен­ ной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) — в противном случае. Определитель

#/i*. ahk,

#*,*. # i*

называется		минором	р-го	порядка т х л-матрицы
			° 1	1		din
			a 2i		а 22	&2п
			а т\		dm2	dmn
если	1 <	h < h <	... <		ip < /я,	1 <	£i < К < —
Миноры матрицы А, у которых и, = £v (v = 1, 2, ...» р),
называются		главными. Если Л — квадратная					матрица, то,

в частности, главным минором является ее определитель. Если среди миноров прямоугольной матрицы А с разме­

рами т х	п имеется отличный от нуля минор порядка г,
в то время	как все миноры более высокого порядка равны

нулю, то число г называется рангом этой матрицы. Очевидно, что п. Ранг невырожденной матрицы совпадает с ее порядком. Ранг вырожденной матрицы меньше ее порядка.

§ 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число

Для матриц с одинаковыми размерами т х п вводится операция сложения матриц, определяющая сумму матриц.

Суммой прямоугольных матриц А = (ai}) и В = (bt}) оди­ наковых размеров т х п называется т х л-матрица С —

— (сц), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

если	С = А +	В,
сц = ац + Ьц	(г = 1 , 2 ,	, т\ j = 1 , 2 ,	, п).

Операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами:

1)	А + В = В + А,
2)	(Л -Н В) + С = А + (В + С);

здесь Л, В, С — прямоугольные матрицы одинаковых раз­ меров.

Матрица, все элементы которой совпадают с нулем (по­ ля 9{), называется нулевой матрицей.

Если Л — произвольная прямоугольная матрица с раз­ мерами т х л, а О — нулевая матрица с теми же размерами,

то

А + О = А .

Разность двух прямоугольных матриц с одинаковыми размерами определяется равенством

А — В = А + (— В),

где (—В) — матрица, составленная из элементов матрицы В, взятых с обратным знаком.

Две матрицы А и В равны друг другу тогда и только тогда, когда они одних и тех же размеров и их соответствую­

щие элементы равны между собой, т. е.
ац = Ьц	( / = 1 , 2 ,	, т ; / = 1 , 2 ,	п).

Множество всех прямоугольных матриц с одинаковыми размерами с операцией сложения, введенной выше, представ­ ляет собой аддитивную группу. Роль нуля в этой группе выполняет нулевая матрица, а элемента, противоположного данному элементу В,— матрица — В.

Произведением матрицы А — (а,/) на число а из Ж назы­ вается матрица С = (с,/), элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число а , т. е.

если		С = а Л,
		(i = 1 , 2 ,	,	/я; /	= 1 , 2п), . . . ,
сц =	аац
Операция умножение матрицы на число обладает сле­
дующими	свойствами:
1)		ос (А + В) = аЛ		аВ,
2)		(ос -{- Р) А — осA -f- рЛ,
3)		(ар) А =	а (РЛ);
здесь А и	В — прямоугольные		матрицы		одинаковых раз­

меров, а а, Р — числа из Ж.

§ 3. Умножение прямоугольных матриц

Для двух матриц, между размерами которых имеет место определенное соотношение, указываемое ниже, вводится операция умножения матриц, определяющая произведение двух матриц. Произведение матриц А и В обозначается либо через АВ> и в этом случае говорят, что матрица А

справа умножается на В (или, что то же самое, матрица В слева умножается на Л), либо через ВА — матрица В спра­ ва умножается на А (или, что то же самое, матрица А слева умножается на В). Говоря «произведение матрицы А на Б», мы будем иметь в виду результат умножения матрицы А справа на В (или, что то же самое, результат умножения матрицы В слева на Л), т. е. ЛБ.

Произведением АВ двух матриц Л и Б называется мат­ рица С, у которой элемент с,/, стоящий на пересечении t-й строки и /-го столбца, равен произведению г-й строки матрицы Л на /-й столбец второй матрицы Б. В свою оче­ редь произведение строки на столбец определяется как сумма произведений соответствующих элементов строки и столбца, а именно:

(an ai2	= 2 асФы.
	k=\

Операция умножения строки на столбец, определяющая произведение строки на столбец, применима тогда и только тогда, когда число элементов строки (первого сомножителя) равно числу элементов столбца (второго сомножителя). Поэтому операция умножения матрицы Л на матрицу В применима тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы Л равно числу строк матрицы В.

Итак, пусть

А = (а,/)			(i’ =	1 ,	2 ,	» т\	/ =	1 ,	2,	п),
В =	(Ьц)		(i =	1 ,	2 , . . .	, ni	/ -	1 ,	2,	п')
и п = т!. Тогда				АВ — С — (с*/),
где
п			(i=			m;	/ =		1, 2,	... n').
си — 2		a-ikbkj			1 , 2 ,
k=\
Матрица С =			АВ имеет столько строк, сколько строк в

матрице Л, и столько столбцов, сколько столбцов в матри­ це Б, так что если Л и Б имеют соответственно размеры т х X п и п х /, то С имеет размеры т х I- Матрица С = АВ в свою очередь может быть умножена справа на матрицу D,

если число строк этой матрицы равняется числу столбцов матрицы В. Матрицу С можно умножить слева на матрицу D, если число столбцов матрицы D равно числу строк матри­ цы Л. В результате получается произведение трех матриц ABD или DAB. И вообще, для существования произведения любого числа матриц требуется лишь, чтобы число столб­ цов каждого сомножителя было равно числу строк последую­ щего сомножителя, а число его строк было равно числу столбцов предшествующего сомножителя.

Умножение матриц обладает сочетательным и распределительным свойствами:

1 )		(АВ) С = А (ВС),
2 )	(А + В)С = АС+ВС,
3)	А(В + С) = АВ + АС.
Докажем это. Пусть А = (а//), В = (6//), С = (cif) —
матрицы	размеров	X пъ т2 X п2, ms X ns соответст­
венно.		произведений АВ и ВС необходимо,
Для	существования

чтобы пг = /л2, п2 = ms.

Матрицы (АВ) С и А (ВС) имеют одинаковые размеры

тг X п3.

Используя правило умножения матриц, последователь­ но получим

(АВ) С = | 2	Qifbffi] (Cftj) =		( 2	2	QirbrkPkj
\ r = l		/	\ f t = l r = l
	2 air 2 brkPkj \ = (&ir) ( 2 brkPki] = A(BC).
	л==1	ft=l	/		\fe=l	/
Операции	сложения и		умножения матриц,			указанные
в соотношении 2),		возможны,		если только		= т2, пх —
п2 = ш3. При этом условии
( А В ) С =\	2 (aik ”f* bib) Ckj J =				( 2 &ikckj ~f"	2^'ft^fe/
\	k —\			J	\fe—l	ft=i

= ^21 aikCkjj + ^ 2 bikPkjj = AC + BC.

	Наконец, при		условии,		что		пх = т2 = т 3,				п2 = «3,
имеем
А ( В	С )	— (Ct{k) ip h j		-f- c k i) —	(		a ik	Ф к1 ~Ь c k j) J		=
	Л,		Л!	\	/	П,		\
	(2	& ikb ki ~f-	2	c u k C k j} —			( 2	Q,ikbki I	“f*(	2	&ikCki
	k = i		fc=i	/	\	й= |		/	\f e = i=		АВ + АС.

Переместительным свойством умножение матриц не об­ ладает. Действительно, пусть, например,

Тогда

Ясно, что АВ Ф ВА.

Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются переста­ новочными или коммутативными.

Квадратная матрица

*» О

л =

<

все элементы которой, не лежащие на главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Для диагональных матриц применяется обозначение: diag (A,t, Я,2,..., А,п).

Умножение прямоугольной т X «-матрицы А справа на диагональную матрицу Л порядка п сводится к умножению столбцов матрицы А на соответственные диагональные эле­ менты матрицы Л. Умножение « х ^-матрицы А слева на диагональную матрицу сводится к умножению строк матри­ цы/! на соответственные диагональные элементы матрицы Л.

Диагональная матрица, все диагональные элементы ко­ торой равны между собой, называется скалярной матрицей. Умножение матрицы А на скалярную матрицу diag ( а ,...

..., а) сводится к умножению всех элементов матрицы А на число а, т. е. умножение какой-нибудь матрицы на скалярную

эквивалентно умножению этой матрицы на соответствую­ щее число.

Скалярная матрица, диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей. Единичная матрица порядка п обозначается через Еп или просто Е. Ес­ ли Л — матрица с размерами т X я, то ЕтА = АЕп ■-=А.

Множество всех квадратных матриц одного и того же порядка с введенными выше операциями сложения и умно­ жения матриц представляет собой некоммутативное кольцо с единицей. Роль единицы в этом кольце выполняет единич­ ная матрица.

Все невырожденные матрицы одного и того же порядка образуют некоммутативную группу относительно операции умножения.

§ 4. Определитель произведения матриц

Пусть А — {ац) и В = (Ьц) — две квадратные матрицы порядка пи С = АВ.

Определитель матрицы С равен

1-1

с п

с12

С2 2

С\п	2 a\kfik%	2	Qi ^ v
&2п	А,=1	v	- 1

		2 ankfiki\	l b
&п1 Сп2	С пп		2 a*bnbknn
		А.=1	kn = l
п		П	a \ k b k nn
— S		Onkfiktl	ankbknn
			bk,\	bt
		&nkJ	Qnkf t	v -

Вправой части полученного соотношения все слагаемые,

укоторых хотя бы два индекса kt и k, одинаковы, равны нулю, ибо в этом случае

0-\kx а'кп

Gfiki апкп

есть определитель с двумя одинаковыми столбцами. Учиты­ вая это, будем иметь

«и	Clп		a ik t	а 'К
		II
Сп\	Спп	^1..... ^д—1	G/ikt	а"к„
		ki=£kj (i^i)

;ftii япп

В последнем равенстве все индексы klt &2, kn различ­ ны и принимают значения от 1 до гг. Путем некоторого числа транспозиций индексов можно привести определитель

	«1Л,		а'»п			«11	Clin
			к	виду				= И |,
	ankt		а„ъа			ап\	Clnn
так	что
		Glk,	aikn			t ikukf	k )	|,
				=	(
		flnfe,	ankn			- 1)	“'Iл
где	t (klt	Ь				транспозиций,		необходимых
		k2, .... kn) — число
для		a2i	K ) ~			I, 2 , ...,	п к расположению
	приведения		перестановки
1 » ^2» • •■1		rv^jik
«11		Cln	| А |	П		(— 1); {k"k*..... кп)
		=		2	1
Cnl		Cnn	А,( 1М|
			tЧФЬ[(1ф!\
							Ч	» = И 1 |й |.

т. е. определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.

§ 5. Присоединенная матрица

Если А = (ац) — квадратная матрица порядка п, то

присоединенной {союзной) называется матрица

Al ^21

All

элементами которой служат алгебраические дополнения эле­ ментов матрицы А, а именно:

Я п	а\ / - 1	а\ / - и	а\п
Ац = ( - 1)*Н Я/—! 1	ai-i /_ 1	1 / + 1	ai-in
		at—
а{+\ 1	/—1	Я/+ 1 ж	Я/+ 1 п
Ял1	Ял /—1	Я« /+ 1	Я п п

(*. / - 1 , 2 , ... , п).

Из теории определителей известно, что сумма произве­ дений всех элементов некоторого столбца (строки) определи­ теля на алгебраические дополнения соответственных эле­ ментов другого столбца (строки) равна нулю, а сумма произ­ ведений всех элементов столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов то­ го же столбца (строки) равна данному определителю:

П	aikAjk =	| А |,
S			|0	,	1 ф \;
fe=i
П			б/, =		<= / \
2	Afttakj =	Ьц | А |	И.
Учитывая это, легко устанавливаем основное свойство
присоединенной матрицы:
		ААС= АСА = \А\Е.			(5 Л)

§ 6. Обратная матрица

Квадратная матрица В называется обратной данной

квадратной матрице А, если
BA = АВ =Е,	(6.1)

где Е — единичная матрица соответствующего порядка. Матрица, обратная матрице Л, обозначается через А~К На основании свойства определителя произведения ма­

триц

| Л—' 11ЛI = IЛ 11

I = 1

(6.2)

(определитель единичной матрицы равен 1 ). Отсюда ясно, что, во-первых, обратную может иметь только матрица,