книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов
..pdfгг — Л/и, где длила свободного пробега фононов [27] может быть приведена к виду A f a ~ E a 3l3G-kT. Таким образом, в дан ном случае
(1.546)
где а — межатомное расстояние; о — скорость звука.
Видно, что прсдэкспонента оказывается порядка характер ного (дебаевского) периода тепловых атомных колебании то ~
~10”13 с.
Рассмотренное преодоление барьера называется термоакти-
внрованным надбарьерным переходом. Переход в силу его стаТМГТ1ШРГКПГП механизма возможен за
ли®* j t u p = e .
о
Рис. 1.13. Вероятность Р перехода через барьер за время /
Специфическая температурная зависимость в (Г) (1.54а) на зывается аррсниусовской.
Отметим, что наряду с термоактивированным надбарьерным переходом в принципе возможно преодоление барьера посред ством иодбарьерного квантового туннелирования, которое вы звано делокализацией частиц, описываемых волновой функцией. При этом температурная зависимость отсутствует. Механизм квантового иодбарьерного перехода становится лимитирующим в твердом теле при температурах, близких к абсолютному нулю, и далее рассматриваться нс будет.
Резервуар релаксации. Выше предполагалось, что мстастабнльное тело с достоверностью распадается путем термоактшшрованного преодоления барьера, п изучалась кинетика распада. Однако в статистической системе наступление любого события имеет вероятностный характер. Таким образом, возникает во прос о вероятности распада (безотносительно времени этого ожидания). Или, другими словами, какое число элементов в си стеме, состоящей из No эквивалентных метаста билиных тел, рас падается? Для ответа рассмотрим и сравним два состояния метастабильной системы: начальное (0), содержащее No элемен тов, и конечное (/), являющееся смесью некоторого числа Nr (подлежащего определению) отрелаксированных элементов паря ту с N — No— Nr элементами, сохраняющими метастабпльнос состояние. Оба состояния по отдельности равновесны и ха
71
рактеризуются распределением Гиббса (1.30), т. е. заселенно сти энергетического уровня Н (среднее число элементов с энер гией Н) есть
Г и(Я) = е х р - ° ~ " |
; |
£ V „ ( tf ) = 1; |
Wf (H) = exp |
£ |
W f(H)= 1, |
V |
W o ? W r |
где {//}— энергетический спектр элемента в соответствующих состояниях; F — свободная энергия.
Релаксация сопровождается изменением заселенностей на начальных уровнях по сравнению с конечным состоянием, т. е. число отрелаксировавших элементов
Nr = N„ У |
[W o(H )- W f (H)] = No У |
|
|
|
{Що |
{Щ* |
|
|
|
|
= 7Vo(l — е |
u/hr). AF = F„ - Ff. |
(1.55) |
|
Будучи отнесенным к объему тела |
V число Nr дает концен |
|||
трацию |
|
|
|
|
|
Сг = |
с 0(1 — е“ ^ |
/кГ) |
(1.55а> |
элементов, |
которые в метастабильной |
системе |
релаксируют. |
В этой связи величину Сг назовем емкостью резервуара релак сации.
Как видно из (1.55а), величина Сг имеет смысл (Сг <Со) только при ДF < 0, то есть при снижении свободной энергии в процессе распада метастабильного состояния, что и обу
словливает его причинность: при А/7 = 0 Сг = 0 и |
релакса |
ции нет. |
|
Итак, в связи с тем, что мстастабильное состояние описы |
|
вается двумя параметрами (см. рис. 1.12)— высотой |
запираю |
щего его барьера U и выигрышем в свободной энергии при рас паде AF — соответственно возникают две характеристики ре лаксации метастабильности: скорость распада, описываемая ве роятностью P(t) (1.54) перехода через барьер U за время t, и емкость резервуара релаксации Сг (1.55а), определяющего объемную концентрацию элементов, распад которых термоди намически выгоден, зависящий от величины \F. В целом, кон центрация метастабильных элементов, распавшихся за время /, есть
С (£/, AF, t) = Cr(\F)P(t, U). |
(1.56) |
Образование диссипативных структур. Рассмотрим открытую систему, границы которой подвижны и открыты для потоков энергии н вещества. В силу тождества Гиббса (1.26) изменение
72
объема, энергии и числа частиц приводит к изменению энтропии 5 системы. Для открытой системы скорость «$ изменения энтро пии можно представить в виде суммы
S = S , + S„ |
(1.57) |
где Se— внутреннее производство энтропии в системе; Si — внешнее поступление через границы.
При выделении границы внутренняя часть системы оказы вается замкнутой, и согласно принципу Клаузиуса всегда
0. (1.57а)
Иначе говоря, в системе нарастает хаос, ее структура, под которой в общем случае надо понимать некий «порядок» (малое число состояний Q), нагружается, упрощается (характеризуется большим числом состояний). Знак слагаемого Si в (1.57) мо жет быть произвольным. Если Si < 0 и достаточно велико и в сумме (1.57)
|
|
S < 0, |
(1.576) |
то |
возникает ситуация, |
противоположная |
описанной выше |
в |
связи с неравенством |
(1.57а). Именно в |
случае (1.576) си |
стема эволюционирует не к хаосу, а к более сложной струк туре. Таким образом, при достаточно мощной подпитке через границы возможна самоорганизация, т. е. спонтанное (самопро извольное) образование высокоупорядочениых (сложных) струк тур из хаоса. Такие, извне поддерживаемые структуры, называ ются диссипативными (Прпгожин, 1967 г.). (Раздел физики, изучающий диссипативные структуры, иногда называют «синер гетикой».)
Итак, диссипативные структуры возникают при выполнении следующих условий.
1.В неравновесной системе, когда
2.В открытой системе, когда SP< 0 (осуществляется на
качка отрицательной энтропии).
3. При достаточно интенсивной накачке, когда |Sr>|>5,, т. е. при переходе через некий порог (точку «бифуркации» — ветвления траектории эволюции), соответствующий достаточно мощному сжатию системы, увеличению ее массы или энергии (см. (1.26)).
Таким образом, в природе существуют два основных класса необратимых процессов: 1) разрушение структуры вблизи поло жения равновесия (которое универсально при произвольных ус ловиях); 2) возникновение диссипативных структур вдали от положения равновесия (при сверхкритических значениях пара метров, за точкой бифуркации). Диссипативная структура воз никает скачкообразно (как некое новое качество системы) и на ходится в подвижном равновесии с окружающей средой, воз
73
действующей ни систему через ее границы (в этой связи возникновение диссипативной структуры иногда называют ки нетическим фазовым переходом).
Приведем примеры возникновения диссипативных структур. 1. Эффект Бенара (экспериментально открыт в 1900 г.). Иа сковородку наливают слой масла и подогревают. Бели Т\ и Т'1— температуры нижней и верхней частей слои, а поток тепла
равен /н, то скорость изменения энтропии
5, |
Ы |
/я |
— |
< 0 . |
(1.58) |
Л |
Г, |
1н 7*1 / о |
|
Как видно, такая система отдает энтропию (или, что то же, получает отрицательную энтропию). Опыт показывает, что при достаточно большом (критическом) значении разности Т±— Т\у зависящем от условий проведения опыта (вида масла и др.), жидкость в сковородке разбивается на правильной формы (гек сагональные) ячейки. Аналогичную ячеистую структуру обла ков можно наблюдать с борта самолета. В этом примере впчпо
важнейшее свойство |
самоорганизации: энергия подводится |
в хаотической форме |
(тепловой), а система организует коллек |
тивное (кооперативное) движение (синергетическое), обладаю щее меньшим числом степеней свободы; энтропия при этом по нижается. Эта структура возникает скачком при достижении притока отрицательной энтропии критической скорости.
2. Другой пример — биологические объекты, включая чело века. С точки зрения физики конца XIX века, которая ограничи валась рассмотрением эволюции замкнутых систем, подчиняю щихся принципу возрастания энтропии, биологическая эволюция как переход от простейших к все более сложным структурам была необъяснимой. Единственная попытка объяснения своди лась к отождествлению биосистем и жизни в целом флуктуа циям. Но флуктуации должны рассасываться, т. е. в конечном счете жизнь должна прекратиться. Этот неутешительный вывод, отвергают изложенные выше представления синергетики, уста навливая (в согласии с реальностью), что жизнь (биологические объекты, человек, популяции животных, города, социальные системы и т. д.) может существовать неограниченно долго при достаточном количестве «пищи», доставляющей в систему энер гию и массу.
Характер образующихся диссипативных структур, понимае мых в широком смысле как определенные способы связей в про странстве и времени элементов системы, диктуется стационар ными устойчивыми решениями соответствующих кинетических уравнений баланса. Они нелинейны и имеют вид системы
X f — Ф/ (Xj, x ^t •••» X/, .. •» Хп, Xoi)y i -—1, 2, . . . , |
f i 9 |
где Xj может быть неким количеством, температурой |
и т. д.; |
хаi — так называемые управляющие параметры. |
|
74
Нелинейность кинетических уравнений приводит к обратной связи, саморегулировке. Образование структур проявляется как форма самоорганизации системы, наступающей при переходе управляющих параметров хо/ через пороговые значения (точки бнфуркании). При этом состояние системы качественно меня ется (что иногда по терминологии Тома называется ката строфой) .
Ограничимся одномерным (п=1) случаем. Тогда х = Ф(х), где Ф(х) — некоторая функция. Не корпи xft определяются ре шением уравнения Ф(Х/{) =0. Положения равновесия могут быть устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от того, возвра щается или не возвращается система в исходное положение при малом отклонении Лхо (возмущении) в начальный момент вре мени /= 0 . Согласно Ляпунову критерием является знак произ водной Ф в корневой точке. Так, если
< 0 — равновесие устойчивое;
(1.59)
> 0 — равновесие неустойчивое.
В самом деле, в малой окрестности Ах корня хь. возможно разложение
Ф (хк+ Ах) = Ф (xk) + Ах - g - (*й) + . . . « Д* - g -
.и изменение х = х*+ Ах описывается уравнением
Ах = Ах |
(х/г), Ах (/ = 0) = Ахо, |
решение которого даст
х = хк+ ДХо ехр Г ( х , ) 11.
В этом выражении второе слагаемое (возмущение) в устой чивом положении со временем затухает, а в неустойчивом — нарастает, уводя систему из исходного состояния.
Рассмотрим в качестве примера образования временной структуры одномерный процесс размножения с ограничением и уничтожения некоторого вещества, описываемый уравнением
|
х = |
л, (х„ — х) х — и х = Ф (х). |
|
|
Здесь х — количество |
вещества; |
х^, и и и — параметры. Член |
||
AJ.V описывает неограниченное |
(так называемое |
автокаталитп- |
||
ческое) |
размножение, член — h±x — уничтожение. Множитель |
|||
в скобках |
отражает |
уменьшение коэффициента |
размножения |
с ростом х, величина хо играет роль ограничителя размноже
ния: при х > |
хо размножение заменяется уничтожением. |
|
Нас интересуют стационарные состояния, отвечающие обра |
||
зованию не |
меняющихся со временем t значениям х, |
что |
в данном случае является временной структурой. Характер |
ста- |
75
ционарных состояний определяется зависимостью величины хо от величины Возможны два случая.
1. Если Хо <С -V*, то единственное положительное стационар ное значение х = 0. Поскольку
(х = 0) == Я,, (х — х*) < 0,
это положение устойчиво.
Величина x(t) от начального значения со временем стре мится к нулю. Другими словами, если ограничение л'0 в системе
мало, она уничтожается. |
|
стационарное устойчивое |
со |
|
2. При х > х * возникает иное |
||||
стояние: *2=л'о — **, |
а |
состояние |
*i = 0 становится неустойчи |
|
вым. Таким образом, |
в |
рассматриваемом случае хь> х*, |
раз |
множение в системе саморегулируется, возникает структура: устанавливается нс меняющееся со временем постоянное значе ние количества вещества хч.
Как видно, возможное двойственное поведение системы нс зависит от начального значения количества вещества, а контро лируется параметром *о, который играет роль критического по рогового значения, точки бифуркации (ветвления) временных траекторий эволюции системы x(t).
Глава 2
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АКТ ТЕРМОФЛУКТУАЦИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ
2.1. Структурный и термофлуктуационный подходы
Тсрмофлуктуационная природа разрушения требует сопоста вить разрушению процесс, протекающий во времени в нагру женном теле и ведущийся тепловыми флуктуациями, и ставит вопрос о характере его элементарного акта — «кванта разруше ния». В настоящее время вопрос этот не решен окончательно. Существующие различные точки зрения отвечают двум подхо дам, которые соответствуют указанным во введении структур ному и термофлуктуанионному этапам развития представлений о разрушении.
При структурном подходе используется тот эксперименталь ный факт, что появлению трещин всегда предшествует микронластнчсская деформация, реалпзуедтая развитием некоторой дефектной структуры. Он привлекается как свидетельство нали чия между пластической деформацией и разрушением причин но-следственной связи: разрушение предстает как «критический» этан структурной эволюции. Если ранее дефекты структуры (трещины и дислокации) привлекались как источники концен трации напряжений, поднимающие приложенную величину о до значения предела оцх (см. введение), то после возникновения кинетической концепции, в которой допускаются любые локаль ные значения напряжения сг.ь играющего роль параметра, ис пользуется иное свойство дефектов, а именно то, что их сущест вование связано с наличием разорванных или сильно растяну тых межатомных связей (рис. 2.1), т. е. с наличием определен ной «пустоты». В этом аспекте элементарный акт разрушения отождествляется с перемещением дефектов — элементарных но сителей пластической деформации (в кристаллах это вакансии, межузельные атомы, дислокации) и их объе шиеннем в тре щину, основным отличительным признаком которой является наличие свободных (т. е. невзаимодействующих .между собой) поверхностей. (Трещиной называется область, ограниченная свободной поверхностью.) Поскольку взаимодействие плоскостей описывается парным межатомным потенциалом вида (1.2), об разование свободных поверхностей связано с разрушением
77
ангармонического осциллятора (см. п. 1.1). Однако, когда речь идет о кристаллах, в которых взаимодействуют одновременно большие группы атомов, нельзя говорить о разрыве отдельных межатомных связей, поскольку элементарные нарушения сплош ности являются многоатомным коллективным процессом [53]. При структурном подходе утверждается, что точечные дефекты и дислокации осуществляют нс только пластическую деформа цию кристаллов. Их скопления являются зародышами наруше
ний сплошности, которые при подходя щих условиях могут превратиться в растущие трещины, приводящие к раз рушению образца. Поэтому микроско пические нарушения сплошности сле дует рассматривать как элементы дефектной структуры кристалла, а процесс разрушения — как одну из стадий эволюции дефектной структу ры [167]. Структурный подход полу чил широкое распространение и кон кретизацию в ряде моделей. Для кри сталлических тел наиболее известны следующие модели.
В ряде работ зарождение трещин связано с точечными де фектами— вакансиями и межузельными атомами. Модель Пинеса [191] основана на предположении, что образующиеся в про цессе пластической деформации вакансии диффундируют к имеющимся в теле открытым поверхностям (трещинам, гра ницам зерен и др.), гДе их концентрация понижена. Выход ва кансии на поверхность рассматривается как элементарный акт разрушения. Направленность этого процесса обусловлена тем, что на поверхности, нагруженной напряжением стг, равновесная концентрация вакансий понижена, т. е. химический потенциал вакансии увеличен на Д р,»а3<7г, и энергия диффузии к пей ва кансии есть f/sd — где C/sd — энергия самодиффузнн. Исли эта поверхность задана плоской порой из п объединившихся
вакансий, то о с ~ л/пв, гДе а — приложенное напряжение. Энер гия активации элементарного акта разрушения по вакансиопиодиффузионному механизму есть
U = USd— а^у/по. |
(2.1) |
Любой сток вакансий является одновременно потенциаль ным источником межузельных атомов. Всюду, где химический потенциал вакансии понижен на величину Ар, химический по тенциал межузельного атома повышен на ту же величину. На этой основе Индснбом [100] предположил, что массонеренос при росте трещин и пор осуществляется межузельными атомами, образование которых контролируется неконсервативным двнжс-
78
нием дислокаций. При достаточно высоких с и Т такой массоперснос превосходит вакансионный и определяет элементарный акт разрушения с энергией активации
U = U i — a rlo 9 |
(2.2) |
где Ui — энергия образования межузельного атома; / — расстоя ние между ступеньками на дислокации.
Владимировым и Орловым [52] развита дислокационная мо дель Мотта [287] и Стро [297] зарождения трещин путем слия ния краевых дислокаций в заторможенном скоплении. Такому слиянию, приводящему к расширению полости, которую уже представляет собой ядро одиночной дислокации (в области ко торого атомы удалены), препятствует отталкивание одноимен ных дислокаций. Стро показал, что чисто силовое зарождение трещины в данной модели возможно лишь тогда, когда внут ренние напряжения достигают величины теоретического пре дела прочности oth. В отличие от Стро Владимиров и Орлов рассмотрели термоактивированное слияние дислокаций. Ими предположено, что процесс слияния лимитируется объедине нием двух головных дислокаций, которое происходит анало гично движению дислокации посредством термически активиро ванного выброса двойного перегиба. В работе [51] показано, что энергия активации U ( G ) перегиба с учетом взанлюдеистиия со скоплением есть
+ |
(2.3) |
где Е — упругий модуль; а — межатомное расстояние.
Кроме описанной простейшей модели дислокационного за рождения трещины существуют и более сложные. Их обзор со держится в работе [53]. Отметим механизм, связанный с про хождением дислокаций через границы зерен, при котором на границе генерируются зернограпичпые дислокации несоответст вия. Зарождение трещин осуществляется при локальных напря жениях сл < Ош за счет объединения нескольких дислокаций. Этот механизм наблюдался экспериментально [225].
При структурном подходе считается, что время до разруше ния детерминировано скоростью пластической деформации (рас сматриваемой в настоящее время как термоактивнрованный процесс) и может, вообще говоря, контролироваться как вре менем подготовки «критической» дефектной структуры (напри мер, формированием заторможенного скопления дислокаций), так и временем ожидания разрушающих перестроек в критиче ской структуре (например, объединением дислокаций в скоп лении).
При постоянном напряжении н достаточно высоких темпера турах структура формируется сравнительно быстро и время до разрушения лимитируется трещинообразующими перестройками
79
в стабильной системе дефектов. При этом соответствующие энергии активации [для рассмотренных механизмов они даются выражениями (2.1) —(2.3)] имеют характер энергии активации разрушения, фигурирующей в формуле для долговечности. Та кой баланс времени вызван меньшими значениями энергии активации пластической деформации.
Однако считается, что в активном режиме при нагружении с заданной скоростью пластической деформации г значитель ную роль играет формирование в условиях возникновения кон центраторов напряжения в непрерывно перестраивающейся де фектной структуре и их пластической релаксации со скоростью рел «критической структуры». Существенно, что здесь понятие критической структуры не морфологическое, а «термокинетиче ское» [212], и трешииообразование связано с неравенством
Грел <С Г,
при выполнении которого в структурно-обусловленных местах со скоростью, определяемой структурной кинетикой, локально растут внутренние напряжения. Поскольку такой рост возмо жен вплоть до величины теоретического предела прочности оць в данной модели кинетика собственно разрушения не имеет ли митирующего характера.
Описанные выше механизмы зарождения трещин в кристал лах приводят, как видно в частности из формул (2.1) —(2.3), к различным выражениям для энергии активации U и соответ ственно к различной интерпретации ее «начального» значения С/о, получаемого при экстраполяции силовой зависимости U(o) на нуль напряжения. Так, в (2.1) Uo равно энергии самодиффу-
зни, |
в (2.2) — энергии образования |
межузельного |
атома, |
а в |
(2.3) значение Uo определяется величиной Е<г. Если допус |
||
тить |
[101, 53], что в зависимости от |
структурных и |
темпера |
турно-силовых условий возможна реализация различных меха низмов, то приведенные результаты свидетельствуют об отсут ствии для кристаллов единообразного выражения для энергии активации разрушения. Этот вывод усиливается, если принять во внимание, что структура пластически деформируемого тела, ее типичные элементы и дефекты существенно изменяются при переходе от одного класса твердых тел к другому (например, при переходе от кристалла к полимеру, в котором нет точечных дефектов и дислокаций). Вместе с тем эмпирическая формула Журкова свидетельствует об обратном, устанавливая универ сальное выражение энергии активации U для самых разнооб разных тел с различными типами межатомной связи, надатомной и дефектной структур. Согласно опытным данным
U = U0- y G 9 |
(2.4) |
где величина Uo для различных материалов хорошо коррели рует с энергией сублимации С/с>-ол [208] (табл. 2.1) вне зависи-
80