книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
211 |
Таким образом, для изотропных сред возможны только две различные ско рости движения поверхности слабого разрыва независимо от направления п фронта поверхности.
Уравнение совместности (2.11.24) для изотропных сред имеет вид
((р Ь 2 - Л2)Е - (AI + A2)n (X) п) • h = 0. |
(2.11.27) |
Введя нормальную проекцию hn — п • h, запишем уравнение (2.11.27) в виде
(,pD2 - A2)h - (Ai + X2 )hnn = 0. |
(2.11.28) |
Если D = <22, то первое слагаемое в (2.11.28) обращается в нуль, и, сле довательно, должно выполняться соотношение hn = h • n = 0, т. е. для волны слабого разрыва, движущейся со скоростью а2, скачок вектора h = [u|oo] ле" жит в касательной плоскости к фронту волны, поэтому такую волну называют
поперечной.
Если же D = а\, то из (2.11.28) и (2.11.26) получаем, что h = hnn, т. е. вектор h коллинеарен вектору нормали, и скачок второй производной вектора перемещений [ii|oo] происходит по нормали к фронту волны. Поэтому слабую волну, движущуюся со скоростью аь называют продольной.
Б. Ортотропные среды
Для ортотропных сред тензор 4С имеет вид (2.6.13) в главном базисе анизотропии сц. Вычисляя тензор п • 4С • п для ортотропной среды, приводим уравнение (2.11.18) к следующему виду:
з
det (pD2Е - ^ ( Х апас2 + Х6+а(п2 с1 + п2рс2) + (А3+а + А6+апзп7Оа) = 0,
а=1
(2.11.29) где п = пгсй па = па = са ■п; индексы а, (3,7 меняются циклическим образом
( « Ф Р Ф 7 Ф « )•
Если направление движения фронта — поверхности S — совпадает с одним из направлений осей анизотропии, т. е. п = са, то па = 1, пд = п7 = 0 и из (2.11.29) получаем
det (pD Е (AQ/CQ/ -\- Аб+дс7 -\- А0 |_7с^))
( рЬ 2 - х п |
о |
о |
\ |
|
= det |
0 |
pD2 - А6+/? |
о 0 |
|
|
о |
о |
рЬ 2 - а6+7/ |
|
= |
(°рЬ2 - Ха)(°рЬ2 - А6+/?)(рЬ2 - |
А6+7) = 0. (2.11.30) |
||
3 |
|
|
|
|
Здесь учтено, что Е = ^ |
с 2а. |
|
|
|
а = \
212 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||
Из (2.10.30) находим возможные значения D : |
|
|
||
D\ |
\J^AQ//р = CLQ/, Z^2 \J |
P — |
D3 \ J |
I p = QjQ/sy, |
|
а Ф f3 ф ^ Ф a. |
|
(2.11.31) |
Таким образом, для ортотропных сред в направлении каждой главной оси анизотропии, задаваемой вектором са, возможны три различные скорости движения поверхности слабого разрыва.
Уравнение совместности (2.10.24) для ортотропных сред после преобразо ваний, аналогичных (2.10.29), (2.10.30), имеет вид
(pD2Е - (Ааса + А6+/Зс7 + А6+7с^)) • h = 0, а ф (3 ф 7 ф а. |
(2.11.32) |
Введя компоненты hi вектора h в базисе с*: ha = h c a , перепишем это уравнение следующим образом:
рЬ 2h - Xahacа - А6+Дг7с7 - X6+1 h/scp = 0. |
(2.11.33) |
О
Если D = аа, то, в силу (2.10.31), соотношение (2.10.33) принимает вид
h = haca + |
h j с7 + ^+7 h/зср. |
(2.11.34) |
|
|
Л(Х |
Ха |
|
Поскольку разложение вектора по базису |
всегда единственно, |
то, срав- |
|
з _ |
находим, что |
соотношение (2.10.34) при не |
|
нивая (2.10.34) с h = |
а = \
равных единице А6 + j/X a и Х3+/з/Ха справедливо, только если hp = Л,7 = 0, т. е. когда векторы Ь и с а коллинеарны: h = haca.
Таким образом, для слабой волны, движущейся в направлении Оса со
о
скоростью D = аа, скачок второй производной h = [u|0o] осуществляется по нормали п = са к фронту волны, поэтому такая волна называется продольной
в направлении Оса.
о
Если же D = аар, то из (2.10.31) следует, что
h = ф - К с а + Ц с7 + фз-Нрсв, |
(2.11.35) |
|
Аб+/з |
Аб+/з |
|
и из единственности разложения вектора h по базису са получаем, что (2.11.35) будет выполняться, только если ha = hp = 0, т. е. векторы h и
с7 коллинеарны: h = с7. Эта слабая волна, движущаяся в направлении
о
Оса со скоростью D = аар, имеет скачок второй производной h = [u|0o] в направлении Ос7, т. е. в касательной плоскости к фронту волны. Такая волна называется поперечной в направлении Ос7.
Совершенно аналогично получаем, что для слабой волны, движущейся в
о
направлении Оса со скоростью D = аа7, скачок второй производной h = [u|0o]
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
213 |
коллинеарен вектору сд, т. е. также расположен в касательной |
плоскости |
к фронту волны. Такая волна называется поперечной в направлении Оср.
Пример 2.11.1. В |
частности, если а = 2, то /3 = 3, 7 = |
1 |
и поперечная |
в направлении Ос\ |
волна движется со скоростью аар = |
= |
л/Ае+з/ р = |
= \ / Ag/ р = \/G \2 / p , а поперечная в направлении Осз — со скоростью аа 1 —
— а2 \ — \А б+1/ Р — |
1 Р — л /^ 2з/Р (здесь использован результат упр. 1 |
к § 2.6). □ |
|
Отметим, что всего независимых значений аа, аар и аа 1 только шесть, соответствующих трем продольным и трем поперечным волнам, так как аар =
= &[3а И |
= ^7ск- |
о |
В отличие от изотропных сред, скорость движения D для ортотропных |
||
сред зависит от направления движения фронта, |
задаваемого вектором п. |
|
|
о |
|
Однако при произвольном п скорость D{п) всегда можно выразить через де- |
||
|
о |
|
вять скоростей D , соответствующих некоторым девяти значениям вектора п; |
причем шесть из них можно выбрать в виде (2.11.31), т. е. соответствующими
скоростям аа, аар, аа 1 движения фронта вдоль главных осей анизотропии
о
Оса, остальные три значения D должны соответствовать значениям п, не сов-
о
падающим с са. Действительно, поскольку общее уравнение для D (2.11.29) при произвольном п содержит девять констант упругости Аа (а = 1, ..., 9), то шесть из них можно выразить из формул (2.11.31) через аа, аар, аа1, а еще три константы Аа найти, записав (2.11.29) для некоторых трех значений п, не совпадающих с са.
В. Трансверсально-изотропные среды (группа Тз) |
|
Тензор 4С имеет вид (2.6.20) в базисе сщ Подставляя это |
выражение |
в (2.11.18), получаем |
|
det (pD2Е —(Ai + A5)n ® n - А5Е —(А2П3 + А4(п2 + nl))c2 — |
|
—А3пз(п (8)Сз + С3 ® п) —А4(п2ПзО! + П 1П3О2)) = 0. |
(2.11.36) |
Если направление движения фронта поверхности совпадает с направлени
ем оси трансверсальной изотропии, т. е. п = сз, то щ = |
1, щ = щ = 0 и из |
|||
(2.11.36) имеем |
|
|
|
|
det ((pD2 —А б)Е —(Ai + А2 + |
2А3 + А з)сз) = |
|
|
|
( рЬ 2 - |
о |
О |
|
|
det |
0 |
рЬ 2 - Л5 |
0 |
|
V |
о |
0 |
рЬ 2 - Аь) |
|
|
|
= (рЬ 2 - |
Ат)СрЬ2 - |
А5)2 = 0, (2.11.37) |
|
/\!п — \\ + А2 + 2A3 + 2А5. |
|
214 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
Отсюда находим две различные скорости D : |
|
|
|
Dx = \]\'"/р = а 3, D 2 = у \ 5/р = а31 = а32. |
(2.11.38) |
Уравнение совместности (2.11.24) для трансверсально-изотропных сред
при п = сз имеет вид |
|
|
|
|
(■(pD2 - А5)Е - |
(Aw - |
А5)сз) • h |
= О, |
(2.11.39) |
или |
|
|
|
|
(,°рЬ2 - A5)h - |
(Aw - |
А5)с3Л3 = 0. |
(2.11.39а) |
|
Если D = аз, то из (2.11.39а) |
получаем, что |
h = Д3С3, |
т. е. векторы |
h и С3 = п коллинеарны, поэтому слабая волна, распространяющаяся со скоростью аз в направлении оси Осз, называется продольной в направлении оси трансверсальной изотропии.
О |
^ |
Если же D = азь |
то из (2.11.39а) получаем, что h% = 0, т. е. вектор h |
лежит в касательной плоскости к фронту движения волны, поэтому слабая волна, распространяющаяся со скоростью аз1 в направлении оси Осз, назы вается поперечной в направлении оси трансверсальной изотропии (волной продольного сдвига).
Если п = С], то щ = 1, щ = щ = 0, и из (2.11.36) имеем |
|
|||||
det ((рЬ2 - А5)Е - |
(Aj + А5)с? - А4с3) = |
|
|
\ |
|
|
fpD 2 - |
(\х + 2А5) |
^ 0 |
|
0 |
|
|
= det |
0 |
рЬ 2 - А5 |
0 |
= 0. |
(2.11.40) |
|
|
0 |
0 |
pD |
-(А 4 + А5) / |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
Отсюда находим три различные скорости D: |
|
|
|
|||
D 1 = у (Ai + 2А5)//? |
= а\, D2 |
= у А5/р |
= ai3, |
L>3 = |
у (А4 + \ ) / Р = «12- |
|
Уравнение совместности (2.11.24) в этом случае принимает вид |
(2.11.41) |
|||||
|
||||||
(pD2 - A5)h - |
(Aj + A5)/MCI - |
А4/г3с3 = |
0. |
(2.11.42) |
Из этого уравнения следует, что волна, распространяющаяся со скоростью
о
D = а\ в направлении оси Ось имеет разрыв второй производной вектора перемещений [ii|oo] в том же направлении Ось Такая волна называется
продольной в плоскости трансверсальной изотропии.
о
Для волны, распространяющейся со скоростью D = а\2 в направлении оси Ось вектор h = [u|0o] коллинеарен вектору сз, поэтому такая волна называется поперечной в плоскости трансверсальной изотропии.
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
215 |
Если n = С2 , то аналогичным образом получим те же самые три скорости |
|
о |
о |
D (2.11.41). |
Среди величин из (2.11.38) и (2.11.41) различных скоростей D |
только четыре: а\, аз, а\2 и ащ.
Как и для ортотропных сред, скорость D{п) зависит от направления движения фронта волны, задаваемого вектором п. Однако, поскольку для
трансверсально-изотропных сред имеется пять независимых констант Аа , то
о
при произвольном п скорость D{п), согласно уравнению (2.11.36), будет
о
зависеть только от значений D , соответствующих пяти различным значениям вектора п, причем четыре из них можно выбрать равными а\, аз, ai3 и а\2 -
Примеры волн слабого разрыва приведены в п. 2.11.5.
2.11.3. Ударные волны
Если в безграничном пространстве имеется поверхность S(t) сильного разрыва, то для нее также справедливы соотношения (2.11.4)—(2.11.8), т. е. можно всегда ввести преобразование координат (2.11.7). Однако, поскольку в данном случае тензоры сг, е и v терпят разрыв, необходимо привлечь для исследования не уравнение движения (2.11.9), а соотношения (2.1.72) на поверхности сильного разрыва при малых деформациях. При отсутствии по верхностных эффектов и фазовых превращений с учетом уравнения (2.1.72в) эти соотношения имеют вид
п • [сг] = pD2[V (8) u T] • n, |
(2.11.43а) |
[u] = 0, |
(2.11.436) |
D[V ® u] + n ® [v] = 0. |
(2.1 1.43B) |
Соотношение для скачка энергии (2.1.72) применяют только при анализе тепловых эффектов в динамических процессах.
Уравнение (2.11.43а) называют динамическим уравнением совместности на ударной волне, а (2.11.43в) — кинематическим уравнением совместно сти.
Подставляя в (2.11.43а) соотношение упругости (2.6.81) (при 4Са —►4С), переписываем его следующим образом:
п • 4С • • [V <8) и] - °рЬ2п • [V (X) и] = 0, |
(2.11.44) |
ИЛИ |
|
pD2nj [uij} - ЩСрк1 [йк,1\ = 0. |
(2.11.44а) |
Перейдем к координатам Х°, Х г и вычислим скачки производных:
[Щл] = Ы ]Р°1 +[щ\т\Р7 ■ |
(2.11.45) |
216 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
В силу (2.11.436), имеет место соотношение [йр(Х°\0, Х г)] = 0 , диффе ренцируя которое по Х \ получаем [йщт(Х°\0, Х г)] = 0. Отметим, что в от личие от слабого разрыва (см. (2.11.22)) в данном случае [г^|0] ф 0. Следова тельно,
[йкА = [йк\о]Р°1 > |
[йк] = \ик\о\Р% ■ |
(2.11.46) |
Подставляя это соотношение в (2.11.44а), получаем |
|
|
- ЩСРШР \ )К|о] = о. |
(2.11.47) |
|
Домножив уравнение (2.11.47) на ё \ |
перепишем его в тензорном виде: |
|
(pD2 Е —п • 4С • п) • [U|Q] = 0. |
(2.11.48) |
Здесь учтено, что, согласно (2.11.16) (эти геометрические соотношения оди
наковы для |
сильных |
и |
слабых поверхностей разрыва), вектор р = P°t ё1 |
коллинеарен |
г \ |
_ |
. О . |
n: Р ^ = |
пе|р|. |
Условие разрешимости системы линейных алгебраических уравнений (2.11.48) относительно вектора [ii|o] (ищем поверхности S(t) с ненулевыми
скачками [U|Q]) имеет вид |
|
|
|
|
|
det |
(рЬ2Е - |
п • 4С • п) = 0. |
(2.11.49) |
|
|
|
О |
|
Это уравнение позволяет найти скорость D ударной волны в зависимости от |
||||
4С и п. |
|
|
|
|
Сравнивая (2.11.49) |
и |
(2.11.18), |
убеждаемся, что они |
полностью сов- |
падают, следовательно, |
|
о |
|
|
скорость D движения фронтов слабых и сильных |
волн одинакова. Более того, формально совпадают и уравнения совместности (2.11.48) и (2.11.24) для скачков [u|0] и [u|0o], следовательно, все выводы, полученные в п. 2.11.2, А — В для изотропных и анизотропных сред, справед ливы и для ударных волн, в том числе относительно числа различных волн и их названий.
Однако соотношения для скачков функций на слабых и ударных волнах
о
различаются: после вычисления скоростей волн D из (2.11.24) вначале нахо дим значение вектора h = [u|0o] Д л я слабых волн (с точностью до константы), а затем определяем разрыв вторых производных от компонент вектора пере мещений [ukjj] по (2.11.23). Для ударных волн после вычисления вектора [u|o] из (2.11.48) вначале находим разрыв первых производных от компонент вектора перемещений [й/щ] по (2.11.46), а затем по формулам (2.11.43а) и (2.11.43в) вычисляем скачки вектора напряжений и вектора скорости на ударной волне. Для слабых волн соотношения (2.11.43) тождественно выпол няются, так как [а] = 0, [v] = 0 , [V (8) и] = 0.
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
217 |
2.11.4. Пространственные волны в изотропных линейно-упругих средах
Для изотропных сред решение волновых задач (2.11.1) и (2.11.2) упроща ется. Рассмотрим задачу (2.11.2) для безграничного пространства £%. Учиты вая уравнения Ламе (2.6.70), запишем эту задачу в следующем виде:
Грй = (Ai + A2)V (V • и) + А2Аи + °р{ в |
х (0,imax); |
| u loo = 0, ^ x u | oo = 0 Vi <Е(0, tmax); |
(2.11.50) |
(д = 0: и = UQ, й = VQ в £3 . |
|
Будем также полагать, что выполнены условия согласования начальных и граничных условий (2.11.3).
Применяя к системе (2.11.50) сначала оператор дивергенции, а затем
оператор ротора, в силу |
|
|
|
|
|
|
|
V х V (V • и) = 0, |
V • V (V • и) = A(V - и), |
V • Ди = A(V • и), |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
(2.11.51a) |
ё = а\5е + V • f , |
|
|
|
|
|||
£ loo = |
t = 0: £ = V • UQ, |
£ = V • VQ; |
(2.11.516) |
||||
со = a2Sco + V |
x f , |
|
|
|
|
(2.11.52a) |
|
^loo = ®’ |
t = 0: |
u? = V |
x U Q , CO = V |
x V Q , |
(2.11.526) |
||
где |
|
e = V • u, |
CJ = V X U , |
|
(2.11.53) |
||
|
|
|
|||||
|
a\ — у ( A i |
+ 2A 2) / p , |
a2 = У Х2/ P• |
(2.11.54) |
Таким образом, исходная задача (2.11.50) для вектора перемещений в изо тропном безграничном пространстве £3 распадается на две самостоятельные задачи (2.11.51) и (2.11.52) — для объемной деформации г (дилатации) и для ротора перемещений со.
Уравнение (2.11.51а) представляет собой скалярное волновое уравнение (гиперболического типа), оно описывает распространение волны расширениясжатия в пространстве со скоростью а\, а уравнение (2.11.52а) — вектор ное волновое уравнение, описывающее распространение сдвиговых волн в пространстве (волн завихренности), движущихся со скоростью а2, причем а2 > а\. Из уравнения (2.1.27а) известно, что е = In (р/р) 1 - Ш . т.е. волна расширения-сжатия вызывает малые изменения плотности и объема среды, а волна завихренности не влияет на изменение плотности, поэтому она сопровождается только изменением формы (элементарного объема dV) без изменения плотности и объема.
Рассмотрим еще одно представление решения задачи (2.11.50). |
|
||
Будем |
считать, |
что массовые силы удовлетворяют условию на |
беско |
нечности: |
= 0, |
тогда векторное поле f(x) так же, как и поле |
вектора |
218 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
перемещений и(х), удовлетворяющее (2.11.50), и поля U Q (X ), V Q (X ), согласно теореме Гельмгольца (т. 3, (1.6.46)), можно представить в виде
f = V x + V |
x |
s, |
(2.11.55) |
|
u = 'Vp + V |
x |
b, |
(2.11.56) |
|
u0 = Vp$ + V х b0, |
v0 = V p 1+ V х bi, |
(2.11.57) |
где х и Г ~ скалярные потенциалы; s и b — векторные потенциалы, удовле творяющие следующим условиям:
Кроме того, примем для р и b дополнительные условия: Ар\ = V • и = 0,
Ab|loo = V х и|loo = 0 .
Подставляя (2.11.55)—(2.11.57) в уравнение Ламе (2.11.50), получаем, что это уравнение распадается на два независимых уравнения для р и Ь:
V p = 0, |
p = p — of Sp —x, |
(2.11.59a) |
V x b = 0, |
b = b —aj дЪ —s. |
(2.11.596) |
Уравнение (2.11.59а) легко интегрируется: <J5(x, £) = h(t), |
где h(t) — функ |
ция интегрирования, фактически это аналог интеграла Коши — Лагранжа, соответствующий интегралу (т. 3, (1.7.3)) для жидкостей. В этом случае потенциал р вводился для скорости v, поэтому в формулу (т. 3, (1.7.3)) входит первая производная по времени.
Учитывая условия (2.11.58) для р и х на бесконечности, находим, что
h(t) = 0 и р = 0, в результате получаем задачу для р\ |
|
|
ф = a2{Aip + |
Иоо = 0: f = 0: V = LP0’ Ф = Ч>\- |
(2.11.60) |
Поскольку вектор b удовлетворяет уравнениям (2.11.596) и (2.11.58), то для него имеем одновременно: V х b = 0, V • b = 0, = 0, но такой вектор, в силу замечания к теореме 1.6.7 из т. 3, п. 1.6.5, тождественно равен нулю b = 0, следовательно, получаем задачу для Ь:
b = flnAb T |
s, |
b| |
= 0 , |
V x b| |
= 0; |
(2.11.61) |
|
z |
1 |
’ |
loo |
’ |
loo |
’ |
|
t = 0: |
b = |
bo, |
b = |
b j. |
|
|
|
Таким образом, исходная задача (2.11.50) для и распадается на две задачи для р и Ь, каждая из которых представляет собой задачу для волнового урав нения в 8 $. Очевидно однозначное соответствие между задачами (2.11.51) и (2.11.60), а также (2.11.52) и (2.11.61), поскольку функции г и р, а также CJ и b связаны соотношениями
e = Aip, u>= —Ab, |
(2.11.62) |
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
219 |
полученными из (2.11.56) и (2.11.53).
2.11.5. Плоские волны в изотропной среде
Рассмотрим плоскую волну в безграничной упругой среде, которая пред ставляет собой решение задачи (2.11.50), зависящее только от одной про странственной координаты, например, ж1 = ж и t, т. е.
и = и(ж, t) = щ{ж, £)е\ |
(2.11.63) |
Тогда задача (2.11.50) приводит к следующим задачам для декартовых ком понент вектора перемещений щ\
иа = о?аиаД1 , —оо < |
ж < +оо, t > |
0, |
се =1 , 2 , 3 ; |
(2.11.64а) |
|
< йа ^ |
= 0, й а ^ = 0, t > 0; |
|
|
(2.11.646) |
|
Kt = 0: |
йа = йао(х), |
йа = vao{x ), |
— 0 0 |
< ж < + о о . |
(2.11.64в) |
Причем поскольку аз = а2, уравнения для декартовых компонент вектора перемещений й2 и Щ совпадают, следовательно, при г^о = Щзо, ^20 = ^зо получаем щ = аз и можно рассматривать только две задачи (2.11.64) при
а= 1,2.
Взадаче (2.11.64) массовые силы отсутствуют: f = 0, а возмущение среды задается начальными условиями — функциями иао (ж) и vao(x). Здесь, как
всегда, иад = диа/д ж. Отметим, что в случае плоской волны: г = щ г\, са = = йлё\ LU\ = 0, й2 = %1, ^3 = -^2,Ь
Общее решение трех задач (2.11.64а)-(2.11.64в) аналогично решению задачи для потенциала идеальной безвихревой жидкости (см. т. 3, п. 1.8.1),
которое является автомодельным: |
|
|
||
иа(х, t) = ра (£?) + qa (& )’ €1 = x - a at, |
+ |
а =1,2, (2.11.65) |
||
где |
и |
~ произвольные дважды непрерывно-дифференцируемые |
||
функции. |
|
|
|
|
|
Подставляя (2.11.65) в начальные условия (2.11.64в), получаем систему |
|||
двух уравнений для нахождения ра и qa: |
|
|
||
|
|
Ра (ж) +qa{x) = иа0(х), |
|
( 2. 11.66) |
|
|
-р'а(х) + q'a(ж) = va0 (х)/аа, |
||
|
|
|
||
решая которую, находим |
|
X |
||
|
|
X |
|
|
где XQ — постоянная интегрирования. |
|
(2.11.67) |
||
|
|