книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
221 |
у функций VQQ. Так, если va$(x) отлична от нуля только в некоторой конечной области —х\ ^ х ^ х\, причем внутри этой области она непрерывна, а на гра
ницах имеется разрыв: \vao(±x\)] = lim vao(x ) Ф 0, то, согласно п. 2.11.3,
X—
решение (2.11.68), (2.11.69) представляет собой ударную волну. Если на границе области возмущения при х = ±х\\ [щ^о] = 0, но [dvao/dx\ ф 0, то решение (2.11.69) является слабой волной. В случае же, когда при х = ±х\: [щ*о] = 0 и [dvao/dx] = 0, решение (2.11.68), (2.11.69) — это гладкая волна.
Отметим, что решение (2.11.68), (2.11.69) удовлетворяет условиям (2.11.43в) на ударной волне, а соотношение (2.11.43а) удовлетворяется тождественно на плоской волне (см. упр. 2 к § 2.11).
Обратим внимание на аналогию решений Даламбера для упругой сре ды (формула (2.11.68)) и для идеальной безвихревой жидкости (см. т. 3, § 1.8 формула (1.8.10)). Как и для идеальной жидкости, начальное возму
щение, задаваемое |
функциями |
vao, которые полагаем отличными от нуля |
||
на промежутке х\ — b ^ ^ х\ |
+ Ь, начиная с некоторого момента времени |
|||
to = |
b/aa распадается на две отдельные области: х\ — b ^ х — aat < х\ + b |
|||
и х\ |
— b ^ х + aat |
^ х\ + Ь, ограниченные характеристиками |
— прямыми |
|
х = aat dz х\ и х = |
—aat ± х\. |
На плоскости (x,v) при t > to |
также фор |
мируются две области ненулевых значений скорости v — две независимые волны, которые распространяются поступательно в разные стороны друг от друга без изменения их формы и амплитуды. Такие волны, как было указано в т. 3, § 1.8, называют прогрессивными. Скорости распространения этих волн совпадают с аа.
2.11.6. Свободные колебания упругих сред
Рассмотрим динамическую задачу (2.11.1) для анизотропных ограничен ных сред и исследуем случай гладких волн, когда функции начальных данных UQ, VO, граничных данных t ne, ue и плотность массовых сил f являются непрерывно-дифференцируемыми функциями своих аргументов (UQ и ue — дважды непрерывно-дифференцируемыми).
Начнем анализ гладких решений задачи (2.11.1) с частного случая — с задачи с нулевыми граничными условиями и массовыми силами:
'°ри = V - ( 4C-- V ® u ) |
B V X (0,tmax); |
|
< n - 4C • • V fgiuL = 0 , |
u L = 0 Vt € ((Umax); |
(2.11.70) |
J = 0: U = UQ, u = VQ В V.
Начальные данные U Q и V Q будем полагать удовлетворяющими условиям согласования:
222 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||
п • 4С • • V 0 u0L = 0, п • 4С • • V ® v0L = О, |
u0L = 0, |
v0| |
= 0 . (2.11.71) |
|
I 2 - t( j |
I 2 - t( j |
I Z J U |
I |
Z J U |
Задачу (2.11.70) называют задачей о свободных колебаниях тела V, ее решение u(x,t) обусловлено только начальными данными. Будем искать это решение в виде гладкой волны следующего вида:
|
оо |
|
u(x, t) = |
cos (jjnt — Ап sincjn£)u(n)(x), |
(2.11.72) |
п = 1
где А'п, А'^, ип — неопределенные константы (штрихи — здесь просто обо значения); U(n)(x) — искомые функции только координат.
Уравнение (2.11.72) определяет так называемую стоячую волну, т. е. ее
форма не меняется со временем, изменяется только амплитуда волны. Функции U(n)(x) определяются формулой (2.11.72) только с точностью до
скалярного множителя, поэтому для определенности можно принять
u (n) (х) • u (n) (х) dV = 1. |
(2.11.73) |
V |
|
Найдем скорость и напряжения с учетом (2.11.72): |
|
оо |
|
й = v = - ^ 2 шп(А'п sinajnt + ^"coso;nt)u(n)(x), |
(2.11.74) |
П= 1 |
|
ОО |
|
сг = 4С • • V (8) u = ^~^(Afn coscunt — Аб'п sincjnt)cr(n)(x), |
(2.11.75) |
п= 1 |
|
а (п) = 4С • - V О u (n). |
(2.11.76) |
Подставляя эти выражения в (2.11.70), получаем задачу для вычисления ФУНКЦИЙ U(пу
l > 2 U(n) + V • (4С • • V ® U (B)) = 0 в У, |
(2.11.77а) |
|п • 4С • • V О и(п)|Ест = 0, и(п)|Ец= 0. |
(2.11.776) |
Отметим, что задача (2.11.77а, б) имеет тождественно нулевое решение U(n) = 0. Однако при некоторых значениях ип могут существовать ее ре шения, отличные от тождественного нуля. Такие числа ип ф 0 называют
собственными частотами линейно-упругого тела V, — собственными числами задачи (2.11.77а, б), а функции U(n)(x) — собственными функция ми.
Некоторые важные свойства собственных чисел и собственных функций приведены в следующей теореме.
Теорема 2.11.1. Пусть линейно-упругая ограниченная среда обладает по ложительным касательным модулем (т. е. для нее выполнены соотноше ния (2.4.76) и условие (2.6.87) положительной определенности тензора 4С), тогда
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
223 |
|
• все собственные числа задачи (2.11.77а, б) |
= у пЬ положительны |
|
(поэтому их обозначение в виде квадрата |
оправдано); |
|
•собственные функции U(n), соответствующие различным собствен ным значениям, ортогональны.
▼1. Умножим уравнение (2.11.77а) скалярно на U(n) и проинтегрируем его по V:
РРп I |U („)|2 dV + |
u {ny ( V - c T (n))d V = 0. |
(2.11.78) |
v |
v |
|
Преобразуем второй интеграл с учетом свойств ковариантного дифферен цирования (т. 1, (2.4.25)) и формулы Гаусса — Остроградского (т. 1, (3.5.13)):
U(„) • V • <T(n) dV = |
V - (сг(п) -u (n)) dV - |
<т(п) • • V |
(g) u (Tn) dV = |
V |
V |
V |
|
|
П • О » • U(n) dV - |
* (ny V ® |
u { n )dV. (2.11.79) |
у
В силу граничных условий (2.11.776), поверхностный интеграл по £ об ращается в нуль, тогда, подставляя (2.11.79) в (2.11.78) и учитывая (2.11.76) и (2.11.73), получаем
|
РУп — |
V ® и • • 4С • • V ® u dV > 0. |
(2.11.80) |
|
|
у |
|
Ввиду |
положительной |
определенности тензора 4С, объемный интеграл |
|
в (2.11.80) |
действительно |
положителен и, следовательно, у п > 0, и вполне |
|
оправдано введенное выше обозначение у п = UJ\. |
|
||
2. Пусть UJ\ и |
— не совпадающие собственные |
числа задачи |
(2.11.77а, б), a un и um — соответствующие им собственные функции. Тогда из (2.11.77а) следует
Р^пЩп) + V • (Т{п) = 0, ри% Uм Т ^ ’ &’(т) |
(2.11.81) |
Умножив первое уравнение скалярно на U(m), а второе — на U(n), после вычитания второго уравнения из первого и интегрирования по V, получаем
р(ссп CJш) |
u (n) ’ u (m) |
(u(m) • V • ст{п) - u (n) • V • ст{т)) dV = |
У |
У |
|
(v • (<т(п) • U(to)) - |
<T(n) • -V <g>u (Tm) - V • (<T(m) • U(n))+ |
|
У |
|
|
+ O’(m) • - V ® u (Tn)) dV = П • (<T(n)U(m) - <T(m)u (n)) dT, = 0. (2.11.82)
224
Здесь учтены граничные условия (2.11.776) и соотношение (2.11.76), в силу которого
<т(п) • -V (X) u (Tm) = V <g>u (m) • • 4с • -V (X) u (n) = |
|
|
|
= V (g) u (n) • • |
4C • -V <g>U (to) = |
cr(m) • -V (g>u (Tn). |
|
Поскольку по условию ujn ф ит, то из (2.11.82) |
следует, что U(n) и U(m) |
||
ортогональны: |
|
|
|
u (n) • n {m)dV = 0, |
п ф т . |
A |
(2.11.83) |
у |
|
|
|
Из (2.11.73) и (2.11.83) вытекает ортонормированность собственных функ ций. Если собственному значению сип соответствует несколько собственных функций, то их можно ортонормировать, используя процесс ортогонализации.
Собственные функции U(n) образуют полную систему (см. теорему Гиль берта — Шмидта [43]), поэтому любые гладкие функции щ и V Q , удовлетво ряющие нулевым граничным условиям (2.11.71), можно представить в виде разложения по собственным функциям.
Подставляя (2.11.74) и (2.11.72) в начальные условия задачи (2.11.70), имеем следующие соотношения:
оо |
оо |
|
X ^ n u (n)(x) = uo(x), |
- y ^ w nx4"u(n)(x) = v0(x). |
(2.11.84) |
п = 1 |
п = 1 |
|
Умножая каждое уравнение (2.11.84) скалярно на U(n)(x) и интегрируя по V, с учетом (2.11.73) и (2.11.83) получаем соотношения для вычисления
коэффициентов А!п и А'р. |
|
|
|
|
AL |
U(n)(x) • u0(x)dV, Мп |
1 |
U(n)(x) • v0(x) dV. |
(2.11.85) |
Ldn |
||||
|
V |
|
V |
|
2.11.7. Неравенство Рэлея u метод Рэлея — Ритца
В приложениях часто бывает достаточно ограничиться информацией о первой (низшей) собственной частоте ио\ задачи (2.11.77), если считать, что все собственные частоты перенумерованы в порядке возрастания:
LU\ < LU2 < ids < .. .
Рассмотрим в области V произвольное дважды непрерывно-дифференци руемое векторное поле и(х), удовлетворяющее нулевым граничным условиям:
п • • (4С • • V ® й)^а = 0, uL = 0 |
(2.11.86) |
и запишем с его помощью следующее выражение:
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
225 |
СО = — |
u -V -c r d V / |
p\u\2dV = U/T, |
(2.11.87) |
V |
|
V |
|
где |
|
|
( 2. 11.88) |
U = |
-- V ® u d V , |
Т = p\u\2 dV. |
|
v |
|
V |
|
Здесь использована формула Гаусса — Остроградского и учтены нулевые граничные условия (2.11.86).
Если и является решением задачи (2.11.77), т. е. совпадает с одной из собственных функций U(n), то со = соп и выражение (2.11.87) можно получить из уравнения (2.11.77а) умножением его на U(n) и интегрированием по V. Если же и — произвольная функция, удовлетворяющая только (2.11.86), то формула (2.11.87) дает значение некоторого функционала, построенного с помощью и.
Поскольку поле и(х) удовлетворяет нулевым граничным условиям, то его можно представить разложением по собственным функциям задачи (2.11.77):
|
оо |
|
|
|
u = y ^ a nu (n). |
(2.11.89) |
|
|
7 1 = 1 |
|
|
В силу ортонормированности собственных функций, |
|
||
U |
= £ ■ апи(п) • u (n) —£ ■ |
|
|
|
71— \ |
71— \ |
|
Вычислив тензор напряжений сг, а затем его дивергенцию, получим |
|||
оо |
оо |
|
оо |
V - ? = y ^ a nV • (4С- -V О U(n)) = — |
а п ^ п и ( п ) ’ U - V |
а = - ^ а пД2 |
|
71= 1 |
71= |
1 |
71= 1 |
Тогда выражение для и 2 |
(2.11.87) можно представить в виде |
си
Поскольку сип/си1 > 1, то каждый член ряда, стоящего в числителе, боль ше соответствующего члена ряда, стоящего в знаменателе, следовательно,
и 2 ^ и 2 = U/T. |
(2.11.90) |
Это и есть искомая оценка (верхняя) для низшего собственного значения сщ, называемая неравенством Рэлея.
Наилучшая оценка будет получена, если рассмотреть минимальное значе ние функционала U/Т , т. е. приравнять к нулю вариацию этого функционала:
5{U/T) = 0. |
(2.11.91) |
226 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Тогда, если аппроксимировать и конечной системой функций U(n), удовлетво
ряющих условиям (2.11.86): |
|
^ |
|
|
|
u = y ^ a nu (n), |
(2.11.92) |
||
|
|
П=1 |
|
|
то, подставляя это выражение в (2.11.91), получаем |
|
|||
J . ( Z ) = l ( S - f - S - u ) = 0. |
|
|||
дап VТ*) |
X12 Vдап |
да. |
|
|
Заменяя в этом выражении U/Т = S2, находим |
|
|||
|
dU _ |
дТ |
|
(2.11.93) |
|
дап |
дап |
|
|
|
|
|
Подставляя (2.11.92) в выражение (2.11.88) для U и Т, приходим к следующей системе линейных уравнений относительно ап:
N |
|
УР(Апт - ш2 Впт)ат = 0, |
(2.11.94) |
П=1 |
|
Д-nm — V ® u (n) • -4С • -V ® U(m)dV, Впт = |
pu(n) • U{m)dV. |
v |
v |
Из условия существования нетривиального уравнения полученной систе
мы (2.11.94) имеем |
(2.11.95) |
det (Апт - и?Впт) = 0 |
— алгебраическое уравнение TV-го порядка относительно S2.
Вследствие неравенства Рэлея (2.11.90), наименьший корень этого урав нения дает верхнюю оценку для J\. С увеличением N корни этого уравнения будут стремиться к собственным значениям CJ2 при п > 1.
Изложенный метод приближенного вычисления собственных значений на зывается методом Рэлея — Ритца.
2.11.8. Вынужденные колебания упругих тел
Рассмотрим общую задачу (2.11.1) для ограниченной области с ненулевы ми массовыми силами f и поверхностными нагрузками t ne, ue. Для начальных функций U Q , VQ и поверхностных нагрузок t ne, ue примем следующие условия
согласования: |
|
|
|
|
п • 4С • -V (g) и0|Ест = |
t ne(x,0), |
u0|Eu = ue(x,0), |
|
|
n • 4C • -V 0 V0|ECT = |
t ne(x,0), |
v0|Eu = |
ue(x,0). |
(2.11.96) |
При этом части поверхности |
и £„области V |
полагаем не |
зависящими |
|
от t. |
|
|
|
|
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
227 |
Тогда задачу (2.11.1) можно свести к динамической задаче с нулевыми поверхностными нагрузками. Для этого рассмотрим вспомогательную квазистатическую задачу в той же области V с теми же упругими свойствами:
V • (4С • • V ® w) = 0 в |
V, |
п • 4С • • V ® w |^ = t ne, |
(2.11.97) |
w |E^ = ue Vt е [О, imax], |
где t ne(x, t), ue(x, t) — те же самые, что и в исходной задаче (2.11.1). Очевидно, что функция w при t = 0 удовлетворяет следующим условиям
на границе: |
|
|
|
|
П • 4С • • V (8) w(x, 0) = |
t ne(x, 0), |
w(x, 0) 1 = |
ue(x,0), |
|
n • 4C • • V ® w(x, 0) = t ne(x, 0), |
w (x,0)|Su = |
ue(x, 0). |
(2.11.98) |
|
Тогда векторное поле |
|
|
|
(2.11.99) |
u(x, t) |
= u(x, t) |
—w(x, t), |
|
где u — решение задачи (2.11.1), a w — задачи (2.11.97), будет решением следующей динамической задачи с нулевыми поверхностными нагрузками:
'°ри = V - ( 4C-- |
Vcx)3) + pf; |
|
|
< n - 4C - - V ( g ) u L =0, |
u L =0; |
(2.11.100) |
|
|
I Z^cr |
I ZJU |
|
t = 0 : u = u0, |
u = v0. |
|
|
Здесь |
|
|
|
f = f —pw, UQ = UQ—w(x, 0), |
Vo = VQ—w(x, 0). |
(2.11.101) |
Из формул (2.11.96), (2.11.98) и (2.11.101) следует, что функции uo и VQ удовлетворяют следующим условиям согласования:
п • 4С • • V ® UQL |
= 0 , |
UQL = 0 , |
|
I ZJCг |
|
I ZJU |
|
n - 4C • • V(g> V0|ECT = 0, |
v0|Eu=0 . |
(2.11.102) |
Рассмотрим случай, когда массовые силы и поверхностные нагрузки f, t ne, ue являются полигармоническими функциями по времени:
N |
|
ft = ^~^(ft'k cosCupt — ftfr sincDyt) + ft, ft = {f, t ne, ue}, |
(2.11.103) |
k=1 |
|
где ft'k, ftk и (t — заданные векторные поля, зависящие только от х (далее будем использовать обозначение ftk '~ , соответствующее совокупности трех типов полей: n'k, n'k И П)\ иоу > 0 — заданные частоты колебаний.
228 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Тогда решение вспомогательной квазистатической задачи (2.11.97) и ди намической задачи (2.11.100) ищем в следующем виде:
N |
|
w(x, t) = ^ ( w '( x ) COS LUpt —W^(x) sin LJpt) + w(x), |
(2.11.104) |
k = 1 |
|
N |
|
u(x, t) = £(u'*(x) cos ujpt —u^(x) sin uopt) + u(x) + u(x, t), |
(2.11.105) |
k = 1
где w^//,_, ufj^"~ и u — неизвестные векторные поля.
Векторное поле f с учетом (2.11.103), (2.11.101) и (2.11.104) также можно
представить в полигармоническом виде (2.11.103), где |
|
||||
|
|
|
|
* = f. |
( 2. 11. 106) |
Подставляя (2.11.104) и (2.11.103) в (2.11.97) и собирая амплитудные |
|||||
составляющие при cos Opt, |
sin uoyt и 1, получаем |
|
|||
J v - ( 4C-- v< g>w £ "’- ) = 0, |
|
(2.11.107a) |
|||
V - 4C-- V< »W , |
I So- |
= |
t ’ “ |
< • “ I,. = < r . |
(2.11.1076) |
|
|
n e k |
— совокупность квазистатических задач для определения w^//,_. Искомое решение (2.11.104) очевидно удовлетворяет условиям (2.11.98).
Подставляя (2.11.105) и (2.11.103) в (2.11.100) и собирая амплитудные
составляющие при cos Opt, sin uoyt и 1, получаем |
|
||||||||
°р4 п'Р + V |
• (4С • • |
V СХ) й£") + Д '’" = 0, |
(2.11.108) |
||||||
v - 4c - - v ^ a y p |
|
=о, |
a y L |
=о; |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
ft/ | Zua |
|
ГЬ | |
|
|
||
f v |
•(4с ••v eg) 5) + Д =о, |
|
(2.11.109) |
||||||
1 n • 4С • • V 0 u L = 0 , |
u L = 0 , |
||||||||
|
|||||||||
V |
|
|
I |
|
|
I ZJU |
|
|
|
— совокупность задач для нахождения полей а Д - . |
|
||||||||
Для переменного |
векторного |
|
поля |
и(х, t) |
имеем следующую |
динамиче |
|||
скую задачу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Д Т |
= V - ( 4C- - |
Vex) С); |
|
|
|||||
\ п |
4С • -V(g)uL |
|
= 0 , |
a L |
= 0 ; |
(2.11.110) |
|||
I |
|
^ |
^ |
u |
^ |
^и |
|
|
|
U = 0: u = u0, |
= v0. |
|
|
Здесь обозначены (с учетом (2.11.101)) функции начальных данных этой задачи:
N |
N |
и0 = и0 - и - W - ^(Й д. + w'fe), |
v 0 = v 0 + ^Ш кЫ к + Ufe)- (2.11.111) |
k = 1 |
k = 1 |
Проанализируем полученные задачи (2.11.108)—(2.11.110).
§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости |
229 |
Задача (2.11.100) уже знакома — это задача о свободных колебаниях под действием начальных данных UQ и VQ — аналог задачи (2.11.70). Поскольку поля и^//,_, в силу (2.11.108) и (2.11.109), удовлетворяют нулевым граничным условиям, векторные поля w^//,_ — граничным условиям (2.11.1076), а поля UQ и VQ, согласно (2.11.96) и (2.11.103), следующим граничным условиям:
|
N |
|
|
|
N |
|
П • 4С • • V |
® и 0 | Ест = J 2 t ' n |
e k + i n e , и 0 | Ец = |
^ U 'е к + |
й е , |
||
|
к=1 |
|
|
к=1 |
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
п - 4С • • V(g) V 0 |ECT = |
1 |
v0|Eu = |
fc=l |
(2.11.112) |
||
|
k = |
|
|
|
||
то из ( 2 . 1 1 . 1 1 1 ) |
следует, что функции начальных данных U Q |
и V Q удовлетво |
||||
ряют нулевым граничным условиям: |
|
|
|
|
||
|
п • 4С • • V ® u0L |
= 0 , |
u0L |
= 0, |
|
|
|
|
I 2-t(j |
|
I 2JU |
|
|
|
n • 4C • • V <g>v0L |
= 0 , |
v0L |
= 0. |
(2.11.113) |
|
|
|
I Z-iQ- |
|
I 2-iu |
|
|
Тогда задача (2.11.110) полностью аналогична задаче (2.11.70), и ее ре шение строится в виде разложения (2.11.72) по собственным функциям U(n) задачи (2.11.77):
|
|
ОО |
|
|
|
u(x,i) = ^ (X ^ c o so ^ i - |
T"sina;nt)u(n)(x), |
(2.11.114а) |
|||
|
77=1 |
|
|
||
A f = |
|
• u о dV, A" |
1 |
(2.11.1146) |
|
U(„) |
idn U(n) *v0 dV. |
||||
|
|
||||
|
у |
_ |
у |
|
Здесь коэффициенты Af^ f вычислены аналогично формулам (2.11.84).
Задача (2.11.109) — обычная квазистатическая задача линейной теории упругости под действием массовых сил и нулевых граничных условий.
Задачи (2.11.108) похожи на задачу (2.11.77) о собственных колеба ниях, однако отличаются от нее тем, что оду — заданные частоты (а сип в (2.11.77) — неизвестные собственные частоты); кроме того, в отличие от (2.11.77), в (2.11.108) имеются массовые силы f^ .
Для поиска решения задачи (2.11.108) введем новые векторные поля и^(х) и и^(х), являющиеся решениями вспомогательных квазистатических задач
линейной теории упругости, аналогичных задаче (2.11.109): |
|
|||||
V |
• (4С • • V (X) и£") + Р?р ' = 0, |
(2.11.115) |
||||
п |
4с ••Vtgiur'L |
= 0 |
ик 1е„ |
|||
|
||||||
и представим поля иг в виде суммы |
|
|
|
|||
|
~/,/// \ |
W,/// |
\ , |
—/,//х \ |
(2.11.116) |
|
|
ик (х ) = |
ик (х ) + |
ик (х )> |
230 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
где и ^ х ) — некоторые неизвестные векторные поля, для которых, подстав ляя (2.11.116) в (2.11.108) и учитывая (2.11.115), имеем следующие задачи:
^ ( u y + G'/0 + V - ( 4C - - V ® ^ " ) = O, |
(2.11.117) |
||
п • 4С • • V ® u^'L =0, |
Ub"L = 0 . |
||
|
|||
ГЬ | Zua |
гь | ZJU |
|
Векторные поля и^" и и^", являющиеся решением задач (2.11.115), (2.11.117), удовлетворяют нулевым граничным условиям, и поэтому их мож но представить в виде разложения по собственным функциям U(n) задачи (2.11.71):
|
|
|
оо |
|
|
оо |
|
|
|
-—/у/ |
w,// |
|
—/,// |
\ “^~/,// |
/о 1 1 1 1 о\ |
|
|
Ч |
= 2 ^ апкЧп), |
|
ч |
= 2 ^ апкЧп)’ |
(2.11.118) |
|
|
|
п = 1 |
|
|
п = 1 |
|
где |
и |
— коэффициенты разложения, аналогичные коэффициентам А'п |
|||||
и Л" |
в (2.11.85): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч к |
= |
VLI |
U(n)dV, |
(2.11.119а) |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
Ч к |
= |
Ч ■4 n )d v■ |
(2.11.1196) |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
Коэффициенты |
можно считать известными, поскольку их можно най |
ти непосредственно из (2.11.119а) после решения квазистатических задач (2.11.115) и (2.11.107). Для вычисления коэффициентов о!^к следует под ставить разложения (2.11.118) в (2.11.117), тогда при каждом п получим следующую задачу:
+ s;;"v •4с ■•v в и(„, = о,
(2. 11. 120)
I а п к П ’ С • • V (8) u (n)|E(j — 0 ’ и {п) |su =
Здесь суммирование по п не выполнялось.
Учитывая, что U(n) — собственные функции задачи (2.11.77), и сравнивая (2.11.77) и (2.11.120), находим, что о!^ должны удовлетворять следующим
соотношениям: |
|
|
* № & + # & )= № & > |
(2.11.121) |
|
из которых находим |
-2w,// |
|
а пк — |
^ к апк |
( 2. 11. 122) |
2 - 2 * |
||
|
ип ~ и к |
|
Таким образом, из формул (2.11.99), (2.11.104), (2.11.105), (2.11.116) и (2.11.118) получаем окончательный вид решения задачи (2.11.1) при условиях (2.11.103) на входные данные: