10298
.pdfпросто один из них. Этот способ называется разложением по элементам строки или столбца.
Если в любой из приведенных формул вычислить алгебраические дополнения и произвести указанные действия, то получится другая формула вычисления определителя третьего порядка
( A) a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a31a22a13 a21a12a33 a32a23a11 .
Заметим, что определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными
a1 x b1 y c1z d1 |
|||
|
|
|
|
a2 x b2 y c2 z d2 |
|||
a x b y c z d |
3 |
||
3 |
3 |
3 |
выражается через определители третьего порядка по аналогичным формулам Крамера:
|
|
d1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
|
a1 |
d1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
d1 |
|
|
|
|
|||
|
|
d2 b2 |
c1 |
|
|
|
|
|
a2 |
d2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
d2 |
|
|
|
|
||||
x |
|
d3 |
b3 |
c3 |
|
|
x |
; y |
|
a3 |
d3 |
c3 |
|
|
y |
; |
z |
|
|
a3 |
b3 |
d3 |
|
|
|
z |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
a2 |
b2 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
в предположении, что определитель матрицы системы не равен нулю. Отметим, что x , y , z – определители матриц, получаемых из матрицы си-
стемы путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец правых частей. Если 0 и существует хотя бы один из определителей x , y , z , отличный от нуля, то система несовместна. Рас-
смотрение оставшегося случая x y z 0 мы отложим до введения понятия ранга матрицы.
Лекция 3. Системы и определители матриц n -го порядка
При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила.
И. Ньютон
20
3.1. Матричная запись системы линейных уравнений. Систему n
линейных уравненийc n неизвестными
a11x1 a12 x2 |
a1n xn b1 |
||
|
|
a22 x2 |
a2n xn b2 |
a21x1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a x a x |
a x b |
||
|
n1 1 |
n2 2 |
nn n n |
после введения матриц
a11 |
a12 |
a1n |
|
b1 |
|
|
x1 |
|
a |
a |
a |
|
b |
|
|
x |
|
A 21 |
22 |
2n |
, |
B 2 |
|
, |
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
b |
|
|
x |
|
n1 |
n2 |
nn |
|
n |
|
|
n |
|
можно записать кратко |
|
|
|
|
|
|
|
|
A X B . |
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
|
Решить систему – значит найти матрицу неизвестных X .
Оставим пока вопросы о том, существуют ли решения системы (3.1) и сколько их, и вспомним, как решалось уравнение первой степени
a x b .
Решение x ba получается умножением обеих частей уравнения на число,
обратное числу a , то есть на число 1a a 1
a 1 a x a 1 b 1 x ba .
Эти соображения приводят к мысли найти такую матрицу (в дальней-
шем будем её обозначать A 1 ), которая при умножении на данную матрицу A давала бы единичную матрицу. Тогда система (3.1) была бы решена следующим образом:
A 1 A X A 1 B E X A 1 B X A 1 B .
Поэтому естественным будет следующее определение.
Обратной матрицей к данной квадратной матрице A называется мат-
рица A 1 , которая при умножении как справа, так и слева на матрицу A , даёт единичную матрицу
A 1 A A A 1 E .
21
С учетом этого определения решение системы (3.1) имеет вид
X A 1 B . |
(3.2) |
Заметим, что определение обратной матрицы ещё не гарантирует её существования и не дает способа ее отыскания. Для нахождения обратной матрицы нам потребуется понятие определителя матрицы порядка n .
3.2. Определители матриц порядка n и их свойства. Теперь мы в состоянии ввести понятие определителя матрицы n -го порядка
a11 |
a12 |
a1 j |
a1n |
|
a21 |
a22 |
a2 j |
a2n |
|
ai1 |
ai 2 |
aij |
ain |
. |
|
||||
an1 |
an2 |
anj |
ann |
|
Если aij – выбранный элемент, то минор Mij – это определитель матрицы порядка (n 1) , получаемой после вычеркивания в исходной матрице строки i и столбца j , а Aij (-1)i j Mij –соответствующее алгебраическое
дополнение.
Определителем n -го порядка (n 1) называется число, равное
сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:
ai1 Ai1 |
ai 2 Ai 2 ... ain Ain |
, |
|
i 1, ... , n |
||||
a |
A |
a |
A |
... a |
A |
|
, |
j 1, ... , n . |
1 j |
1 j |
2 j |
2 j |
nj |
nj |
|
|
Естественно, возникает вопрос о корректности такого определения. Для n 2 легко проверяется
a11 |
a12 |
a a a a a A a A |
|||||||
a21 |
a22 |
11 |
22 |
12 |
21 |
11 |
11 |
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(разложение по элементам первой строки),или
a11a22 a21a12 a11 A11 a21 A21
22
(разложение по элементам первого столбца). Два оставшихся варианта проверьте самостоятельно.
Для краткости изложения доказывать или иллюстрировать формулируемые ниже свойства определителей мы будем на примере определителей второго порядка.
Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется
( AT ) ( A) .
Это свойство следует из определения.
Так как при транспонировании матрицы столбцы переходят в строки и наоборот, то все свойства определителя, формулируемые в терминах столбцов, остаются справедливыми и для строк. Поэтому далее мы будем говорить только о строках (или о столбцах).
Свойство 2. Определитель изменит знак, если поменять местами две строки матрицы.
Убедимся в справедливости этого свойства для n 2
a1 |
b1 |
|
a2 |
b2 |
. |
a2 |
b2 |
|
a1 |
b1 |
|
Действительно, «раскрывая» определители, имеем:
a1b2 a2b1 (a2b1 a1b2 ) .
Свойство 3. При умножении элементов строки матрицы на число ее определитель умножается на .
|
a1 |
b1 |
|
|
|
a1 |
b1 |
|
|
|
|||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
Это свойство в данном случае ( n 2 ) легко проверяется, а для любого n следует из разложения определителя по элементам строки, где будет общим множителем всех элементов строки и его можно вынести за знак суммы. Это свойство удобнее запомнить в «обратной» формулировке: если элементы строкиматрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Отметим, что умножение матрицы на число происходит по-другому
a11 |
a12 |
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
. |
a21 |
a22 |
|
a22 |
Свойство 4. Если все элементы какой-то строки матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.
23
Чтобы убедится в этом, достаточно разложить определитель по элементам этой строки.
Свойство 5. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.
Действительно, поменяем местами эти одинаковые строки. По свойству 2 определитель должен сменить знак, то есть , а с другой стороны, в нём ничего не изменилось, то есть . Есть единственное число, для которого одновременно выполняются эти условия; это число равно нулю. Итак, 0 .
Свойство 6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Вынося общий множитель элементов строки (коэффициент пропорциональности) за знак определителя, мы получаем определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.
Свойство 7. Если каждый элемент какого-то столбца матрицы представляет собой сумму двух слагаемых, то для определителя этой матрицы верноравенство
a1 a1 |
b1 |
|
|
|
a1 |
b1 |
|
|
|
a1 b1 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
a |
b |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
a |
b |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Проверяем:
(a1 a1)b2 (a2 a2 )b1 a1b2 a1b2 a2b1 a2b1a1b2 a2b1 (a1b2 a2b1 ).
Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то величина определителя при этом не изменится
a1 b1 |
b1 |
|
|
|
a1 |
b1 |
|
|
|
b1 |
b1 |
|
|
|
a1 |
b1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a2 b2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
b2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
Этим свойством удобно пользоваться для «получения нулей» в определителе (чем больше нулей в строке или столбце, тем легче вычисляется определитель). Например, определитель четвёртого порядка матрицы так называемого треугольноговида вычисляется следующим образом:
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
|
a22 |
a23 |
a24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
a22 |
a23 |
a24 |
|
|
a33 |
a34 |
|
|||
a |
0 |
a a |
a a |
a a a a |
|||||||
0 |
0 |
a |
a |
11 |
|
33 |
34 |
11 22 |
0 |
a |
11 22 33 44 |
|
|
33 |
34 |
|
0 |
0 |
a44 |
|
|
44 |
|
0 |
0 |
0 |
a44 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(разложили по элементам первых столбцов).
24
Свойство 9. Если элементы какой-либо строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов остальных строк, т.е. представимы в виде суммы их произведений на некоторые числа, то определитель равен нулю.
Например, определитель матрицы
|
a11 |
|
a12 |
|
a13 |
|
A |
a |
|
a |
|
a |
|
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
|
a a |
21 |
a a |
22 |
a a |
|
|
11 |
12 |
13 |
23 |
равен нулю. Это следуетиз того, что согласно свойству 7 |
этот определитель |
|||||||
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
||||||
( A) |
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
Заметим, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то любая строка является линейной комбинацией остальных строк (доказательство этого утверждения отложим до изучения векторов).
Свойство 10. Сумма произведений элементов i -й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j -й (i j) строки равна
нулю.
Например, для матрицы
a11 |
a12 |
||
A a |
21 |
a |
22 |
|
|
||
a31 |
a32 |
a13 a23 a33
выполняется
a11 A21 a12 A22 a13 A23 0. |
(3.3) |
Для доказательства этого факта рассмотрим матрицу с двумя одинаковыми строками
a11 |
a12 |
a |
a |
11 |
12 |
a31 |
a32 |
a13 a13 . a33
С одной стороны, ее определитель равен нулю, а с другой стороны, раскладываяее определитель по элементам второй строки, получим равенство
(3.3).
Заметим, что для вычисления определителя порядка n необходимо вычислить n определителей порядка (n 1) , каждый из которых, в свою оче-
25
редь, вычисляется через (n 1) определитель порядка (n 2) и т.д. Следо-
вательно, определитель порядка n есть алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n сомножителей.
3.3. Обратная матрица. Напомним, что обратной матрицей к данной
квадратной матрице A называется матрица A 1 , которая при умножении, как справа, так и слева, на матрицу A даёт единичную матрицу
A 1 A A A 1 E .
Теорема. Если определитель матрицы ( A) отличен от нуля, то мат-
рица имеет единственную обратную матрицу A 1 .
По ходу доказательства теоремы мы получим один из способов вычисления обратной матрицы. Действительно, по определению A 1
a11 |
a12 |
a |
a |
21 |
22 |
a |
a |
31 |
32 |
a13 d11 a23 d21 a33 d31
d12 |
d13 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
d22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d23 |
|
0 |
1 |
0 |
|
, |
(3.4) |
||
d32 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
d33 |
|
|
|
|
где элементы обратной матрицы dij нужно отыскать. Найдём сначала эле-
менты первого столбца d11, d21 |
и d31 . По правилу умножения матриц имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11d11 a12d21 |
a13d31 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21d11 a22d21 a23d31 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a d a d |
21 |
|
|
a d |
31 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
11 |
32 |
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По формулам Крамера получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
A11 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
d |
|
|
|
0 |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
A |
|
|
|
22 |
23 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a11 |
|
1 |
a13 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
A12 |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
d |
|
|
|
|
a |
|
0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
21 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a11 |
|
a12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
A13 |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Aij – соответствующие алгебраические дополнения. Аналогичным образом получаем
|
|
|
d |
|
|
A2i |
, |
d |
|
|
A3i |
, |
i 1,2,3 . |
|
|
|
|
i 2 |
A |
i3 |
A |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, обратная матрица имеет вид |
|
|
||||||||||||
|
1 |
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A 1 |
A |
A |
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A A |
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
12 |
22 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
13 |
23 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует обратить внимание на то, что матрица в правой части (3.5) получена путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы A . Из формулы (3.5) видно, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы её определитель не обращался в нуль. Матрицы с определителем равным нулю называются вырожден-
ными.
Итак, правило нахождения обратной матрицы (обращение матрицы):
вычисляем определитель A . Если A 0 , то A 1 не суще-
ствует.
вычисляем матрицу алгебраических дополнений (обозначим A ).
транспонируем матрицу A .
умножаем матрицу AT на |
1 |
и получаем обратную матрицу. |
|
|
|||
( A) |
|||
|
|
Приведем другое обоснование формулы (3.5), определяющей обратную матрицу. Действительно, по определению обратной матрицы с учетом свойства 10 для определителей получим
|
1 |
a11 |
a12 |
|
AA 1 |
a |
a |
||
|
||||
|
det A 21 |
22 |
||
|
|
a31 |
a32 |
a13 A11 a23 A12 a33 A13
A21 |
A31 |
|
|
A |
A |
|
|
22 |
32 |
|
|
A23 |
A33 |
|
|
|
1 |
det A |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
0 |
det A |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
, |
||
|
|||||||||||||
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
0 |
det A |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
что и требовалось доказать.
27
|
1 |
2 |
0 |
|
Пример. Обратим матрицу A |
1 |
1 |
1 |
. |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
Вычисляем определитель матрицы A 3 . Составляем матрицу алгебраических дополнений
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
A |
2 |
|
1 |
|
|
4 |
. |
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Транспонируем её |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|||
AT |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
1 |
|
|||
и получаемобратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
A 1 |
AT |
|
|
1 1 1 . |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
Таким образом, решение системы n уравнений с |
n неизвестными в слу- |
чае невырожденной матрицы имеет вид |
|
X A 1 B . |
(3.6) |
Алгоритм получения решения сводится к нахождению обратной матрицы
A 1 и умножению её слева на матрицу-столбец правых частей B . Заметим, что матрица B начинает «работать» лишь на этапе умножения.
Установим связь на примере системы третьего порядка между правилом Крамера и нахождением решения с помощью обратной матрицы. Для этого заметим, что из (3.3) и (3.4) с учетом формулы разложения определителя по столбцу и использованных выше обозначений следует
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
b1 |
|
|
|
b1 A11 b2 A21 b3 A31 |
|
|
|
|
x |
||||||||
X |
1 |
|
A A |
A |
|
|
|
b |
|
|
1 |
b A |
b A |
b A |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||
|
|
12 |
22 |
32 |
|
2 |
|
|
1 12 |
2 22 |
3 32 |
|
|
|
||||||||
|
A A A |
A |
b |
|
|
A b A b A b A |
|
|
A |
|
|
|||||||||||
|
|
|
13 |
23 |
33 |
|
3 |
|
|
|
|
1 13 |
2 23 |
3 33 |
|
|
|
|
|
z |
что совпадает с формулами Крамера.
Пример. Основываясь на формуле (3.6), решим систему уравнений
28
x 2 y b1x y z b22x z b3
1 |
2 |
0 |
|
x |
|
b1 |
|
||
A |
1 |
1 |
1 |
|
, |
X y |
, |
B b |
. |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
b3 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
Обратная матрица была найдена ранее |
A 1 |
|
1 |
1 |
1 . |
||
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
Не следует «торопиться» делить каждый элемент матрицы на определительA . Вычисляем матрицу-столбец неизвестных
|
1 |
1 |
2 |
2 b1 |
|
|
1 |
|
b1 2b2 2b3 |
|
||||||
X |
|
1 |
1 1 |
b |
|
|
|
|
b b b |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
1 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 1 |
b3 |
|
|
|
|
2b1 4b2 b3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
Пусть, например, b 1, |
b |
2 , |
b 3 , тогда |
|
X y |
|
|
0 |
. |
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными
4.1. Ранг матрицы. Мы рассматривали систему n уравнений с n неизвестными, у которой матрица невырожденная. А как быть, если матрица вырожденная ( ( A) 0) или m n , то есть число неизвестных не совпада-
етс числом уравнений?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится понятие ранга матрицы. Это некоторая числовая характеристика матрицы. Вводится
29