10298
.pdfВведём декартову систему координат, взяв за начало точку A и выбрав базис {e1,e2} {0.5AB, AD} (см. рис.7.3). Пусть длины базисных векторов для определённости равны единице.
?
Рис. 7.3
В этом базисе диагонали параллелограмма имеют разложение
d1 DB 2e1 e2 , |
d2 AC 2e1 e2 . |
Искомые величины выражаются через скалярное произведение
cos( BO1C) |
d1, d2 |
|
, Прd2 d1 |
|
d1,d2 |
|
. |
|
| d1 |
| | d |
2 | |
| d2 | |
|
||||
|
|
|
|
|
Вычисляем скалярное произведение, применяя более компактное по написанию обозначение
d1 d2 (2e1 e2 ) (2e1 e2 ) 4e1 e1 e2 e2 3.
Модули векторов вычисляем по формуле (7.1):
|
|
|
|
(2e e )2 |
|
4e 2 |
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|
| d | |
d d |
1 |
|
|
4e e |
2 |
|
5 4cos60 |
3 |
|||||
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e )2 |
|
|
|
|
|
|
|
4e 2 |
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
| d |
2 |
| |
(2e |
|
|
|
|
|
4e e |
|
5 4cos60 |
7 . |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, Пр |
d d1, d2 |
|
|
3 |
|
|
1.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
d2 1 |
|
| d2 |
| |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos( BO1C) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0.65 |
BO1C arccos0.65 |
49 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах. Вы-
разим скалярное произведение через координаты его сомножителей. Пусть задана декартова прямоугольная система координат с ортонормированным
базисом i , j,k и два вектора a ax , ay , az и b bx ,by ,bz . Тогда, учитывая свойства скалярного произведения, получим
a,b axi ay j azk , bxi by j bzkaxbx i ,i axby i , j axbz i ,k
aybx j ,i ayby j , j aybz j ,kazbx k ,i azby k , j azbz k ,k
axbx ayby azbz .
Итак, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат сомножителей:
a,b axbx ayby azbz .
Теперь мы в состоянии выразить полученные выше формулы для модуля вектора, проекции вектора на вектор и угла между векторами в координатах данных векторов. А именно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
a,a a2 a |
2 a2 |
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|||
Пр a |
a,b |
|
|
axbx ayby |
azbz |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
|
|
| b | |
|
|
|
|
bx2 by2 |
bz2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos |
a,b |
|
|
|
|
axbx ayby |
azbz |
|
|
. |
|||||||||||
| a | | b | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ax2 ay2 az2 |
|
bx2 by2 bz2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
В частности, условие ортогональности двух векторов выражается через их координаты следующим образом:
axbx ayby azb 0 .
51
Продемонстрируем, как в декартовой системе координат решаются некоторые задачи.
7.3. Деление отрезка в заданном отношении: найтикоординаты точки
C(x, y, z), которая делит отрезок, соединяющий точки A(x1, y1, z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) (внутренним или внешним образом), в отношении (см. рис. 7.4).
|
|
|
2, 2, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
> 0 |
= − |
|
|
|
|
|
, , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 2, 2 |
||||||
1, 1, 1 |
|
|
|
, , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
Рис. 7.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для её решения отметим, что |
векторы |
|
AC {x x1, |
y y1, z z1} и |
|||||||||||||
CB {x2 x, |
y2 y, z2 z} коллинеарны, то есть |
AC CB . Запишем это |
|||||||||||||||
векторное равенство в координатах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x x1 (x2 x) , y y1 ( y2 y) , |
z z1 (z2 z) , |
||||||||||||||||
откуда найдем координаты точки |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
x1 x2 |
, |
y |
y1 y2 |
, z |
z1 z2 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Покажем в заключение этого раздела, как векторная алгебра объясняет действие так называемого уголкового отражателя, представляющего собой комбинацию из трёх взаимно перпендикулярных зеркал. Многочисленные применения этого прибора связаны с его способностью менять направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет на него падает. Пусть луч света сначала попадает, например, на плоскость xOy и направляющий вектор этого луча a {ax ,ay ,az}.
Спрашивается, каковбудет направляющий вектор a1 для отражённого луча?
Оба эти вектора одинаковой длины и расположены в плоскости, перпендикулярной к плоскости xOy . Очевидно, что у направляющего вектора отра-
жённого луча третья проекция сменит знак, а первые две проекции останутся прежними,т.е. a1 {ax ,ay , az } (см. рис. 7.5).
52
Рис. 7.5
Таким образом, отразившись от трёх координатных плоскостей, луч света будет иметь направление, противоположное первоначальному a3 { ax , ay , az } a .
Следующий рисунок иллюстрирует «работу» уголкового отражателя на конкретном примере.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 |
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
4 |
|
|
|
Рис. 7.6
Уголковые отражатели применяются для точного измерения расстояний, обеспечения безопасности движения транспорта и в военном деле.
53
Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов
8.1. Векторное произведение векторов. Векторным произведением-
векторов a и b называется вектор c [a b] |
или просто c a b такой, |
что:
c a и c b
упорядоченная тройка векторов {a,b,c} правоориентированная
c a b sin , где –угол между векторами.
Упорядоченная тройка векторов называется правоориентированной или правой, если после приведения их к общему началу с конца третьего
вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае – тройка называется левоориентированной или левой. При перестановке местами любых двух векторов или при замене одного из векторов на противоположный тройка меняет ориентацию.
Рис. 8.1
С этим расположением векторов a , b , c связаны правоориентированнаяи левоориентированная декартовы прямоугольные системы координат.
Рис. 8.2
54
Обратим внимание на то, что значение модуля векторного произведе-
ния
c a b sin
равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах
b
a
Рис. 8.3
В механике с помощью этой операции вычисляется момент силы. Пусть, например, O – одна неподвижная точка некоторого тела, к другой
точке A которого приложена сила F . Момент этой силы относительно неподвижной точки выражается векторным произведением M OA F , а его модуль равен M | F | | OA | sin | F |d – «произведению силы | F |
на плечо d | OA |sin ».
M |
|
= |
|
|
|
d |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
Рис. 8.4
Рассмотрим основные свойства операции векторного произведения. Во-первых, эта операция позволяет выяснить коллинеарны или нет два за-
данных вектора. А именно, векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю
a || b a b 0 .
Действительно, это следует из равенства |a b | | a | | b | sin 0 0 .
55
Что произойдет, если в векторном произведении c a b переставить местами сомножители, т.е. что собой представляет вектор d b a ? Очевидно, что вектор d перпендикулярен векторам a и b , его модуль равен модулю вектора c , но тройка {b, a,c} стала левой, а, значит, тройка {b, a, c} будет правой. Таким образом, d c или [a b] [b a] .
O
Рис. 8.5
Умножениеодного из сомножителей векторного произведения на число приводит к умножению результата на это число, т.е.
[ ka b ] [ a kb ] k [a b ] .
В выражениях, содержащих векторное произведение и сложение, скобки «раскрываются» так же, как и при обычном умножении и сложении, т.е.
[(a b ) c] [a c] [b c] .
Как найти векторное произведение, если его сомножители заданы своими координатами? Пусть векторы a и b в ортонормированном базисе векторов {i , j, k} , образующих правую тройку, имеют следующее разложение:
a axi ay j az k , |
b bxi by j bzk . |
Вначале приведем таблицу векторного умножения базисных векторов, где в левом столбце находится первый сомножитель, в верхней строке – второй, а на пересечении строки и столбца соответствующее произведение.
56
Таблица 1. Вычисление векторного произведения координатных ортов в пра-
воориентированной системе координат
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
0 |
k |
|
|
- j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
- k |
0 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
j |
- i |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, используя эту таблицу и приведенные выше правила раскрытия скобок, получим:
[a b ] [ ( axi ay j az k ) ( bxi by j bz k )] =
axbx[i i ] aybx[ j i ] azbx[k i ]axby[i j ] ayby[ j j ] azby[k j ]axbz [i k ] aybz [ j k ] azbz [k k ]
i (aybz azby ) j (axbz azbx ) k (axby aybx )
i |
ay |
az |
j |
|
a |
x |
a |
z |
|
k |
ax |
ay |
||
|
|
|||||||||||||
b |
|
b |
|
b |
b |
|
b |
b |
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
||||||
|
|
z |
|
|
x |
z |
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы запомнить, как вычисляются координаты векторного произведения, заметим, что
|
i |
j |
k |
|
[a b] |
ax |
ay |
az |
, |
|
bx |
by |
bz |
|
где в правой части равенства стоит символический определитель, раскрывая который по элементам первой строки, получим приведенное выше выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Такое представление векторного произведения позволяет обнаружить те его свойства, о которых говорилось выше. Например, при смене порядка сомножителей в определителе поменяются местами две строки, что приводит к смене знака определителя, а, значит, к смене знака векторного произведения. Любознательный читатель может таким образом проверить справедливость и других свойств векторного произведения.
57
Полученное выражение векторного произведения через координаты сомножителей дает возможность вычислить площадь треугольника по координатам его вершин
Рис. 8.6
Образуя какую-нибудь пару векторов, например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a AB x2 x1, y2 y1, z2 z1 a1,a2 ,a3 |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
b AC x3 x1, y3 y1, z3 z1 b1, b2 , b3 |
||||||||||||||
найдём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S |
| a b | |
| |
a a a |
| . |
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
8.2. Смешанным произведением |
векторов |
a , b , |
c называется |
|||||||||||
число,равное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b,c , (8.1)
т.е. сначала находится вектор d a b , а затем он умножается скалярно на вектор c . Поэтому смешанное произведение иногда называют векторноскалярным произведением векторов. Отметим, что смешанное произведение выражается через скалярное и векторное произведения и не является ка- кой-то «новой» операцией над векторами. Как мы сейчас увидим, знак смешанного произведения говорит о взаимной ориентации данных трех векторов (правую или левую тройку они образуют), а его модуль дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.
58
Действительно, рассмотрим рисунки с правой и левой тройками векто-
ров
|
|
|
|
c |
d |
c |
|
|
|
|
|
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
a |
|
d |
|
|
|
|
Рис. 8.7 |
|
Из рисунков видно, что в случае правой тройки {a,b,c} вектор d a b об-
разует с вектором c острый угол , а в случае левой тройки – этот угол тупой. С учетом того, что
a b,c | d | | c | cos ,
мы получим, что в первом случае знак смешанного произведения будет положительным, а во втором – отрицательным. Таким образом, знак смешанного произведения «говорит» о взаимной ориентации тройки векторов в пространстве.
А что означает равенство нулю смешанного произведения? Очевидно, что это будет тогда и только тогда, когда cos 0 , т.е. / 2 и, следова-
тельно, вектор c должен лежать в плоскости векторов a и b . Итак, обращение в нуль смешанного произведения эквивалентно компланарности данной тройки векторов.
900
Рис. 8.8
59