- •1. Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства)
- •2. Интегрирование по частям и замена переменной. Теорема (Замена переменной):
- •3. Интегрирование рациональных функций.
- •4. Интегрирование иррациональных функций(∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥, биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
- •1 Случай:
- •2 Случай(Подстановки Эйлера):
- •3 Случай. Биномиальный дифференциал:
- •5. Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
- •(!) (Sinx, cosx)dx
- •6. Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману
- •7. Суммы Дарбу и их свойства.
- •8. Критерий интегрируемости по Риману.
- •9. Достаточные условия интегрируемости по Риману.
- •10. Свойства интеграла Римана.
- •11. Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменной в интеграле Римана. Интегрирование по частям.
- •13. Простые фигуры и их свойства.
- •14. Мера простых фигур и ее свойства.
- •15. Мера Жордана и ее свойства.
- •16. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.
- •17. Вычисление площади криволинейного сектора.
- •18. Кривые.
- •19. Вычисление длины кривой.
- •20. Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).
- •21. Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса
- •22. Открытые и замкнутые множества в Rn.
- •23. Предел функции.
- •26. Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
- •27. Компактность и теорема Вейерштрасса.
- •28. Равномерная непрерывность.
- •33. Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •34. Дифференциалы высших порядков.
- •35. Формула Тейлора.
- •36. Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).
- •37. Неявные функции, теорема об обратной функции. Не будет в экзе!!!
- •38. Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
1 Случай:
∫𝑅(𝑥; )𝑑𝑥
n N, ,
R(x,y) - рац. функция от х
Теорема: ∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥 вычисляется в элементарных функция
(Тут как доказывается)
Шаг 1. Замена переменной.
t =
x = - рац. функция от t
dx =
∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥 = ∫𝑅( , t)
Шаг 2. Вычисляем интеграл
Шаг 3. Производим обратную замену
2 Случай(Подстановки Эйлера):
∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥 (1)
ax2+bx+c - не имеют двух одинаковых корней
Теорема: Если выполняется хотя бы одно из условий:
коэффициент а > 0
с > 0
ax2+bx+c имеет два различных корня
Тогда (1) вычисляется в элементарных функциях
Для решения таких задач используются подстановки Эйлера.
I подстановка:
t = + , a > 0
II подстановка:
xt + = , c > 0
III подстановка:
t(x-x1) = , где x1,x2 - различные корни уравнения
Т.к. записи в таких подстановках получаются громоздкими, то рассматривают отдельные случаи, когда можно не применять подстановки Эйлера.
3 Случай. Биномиальный дифференциал:
(1) , где n,p,m - рациональные числа, a,b - любые постоянные. Если выполняется одно из трех условий:
p - целое, (то выполняется подстановка x = t N, где N – общий знаменатель дробей m и n.)
- целое, (то подстановка a x n + b = t M, где M – знаменатель числа p.)
+ p - целое, (то подстановка a + b x – n = t M, где M – знаменатель числа p.)
то (1) вычисляется в элементарных функциях
5. Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
Интегрирование рациональной функции зависящей от sinx и cosx.
(!) (Sinx, cosx)dx
Например: R(🇺, v) = , где u=sinx; v=cosx
Теорема: (!) вычисляется в элементарный функциях.
Доказывается путем универсальной тригонометрической подстановкой, НО.
Замечание* использование универ. триг. под. обычно приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых специальных случаях используют другие замены.
В основной теореме используется замена t=tg .
Специальные случаи:
(sinx, cosx)dx
R(-🇺, v) = -R(🇺, v), то есть функция R нечетна по u
R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx)
пример: R = , замена t = cosx
R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx)
замена t = sinx
R(-🇺, -v) = R(🇺, v), то есть R четна по обеим переменным
R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)
Замена t = tgx
6. Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману
фулл того что такое интеграл римана пока живет тут
Определение:
Обозначим - Интегральная сумма Римана
I = (а - нижний предел, b - верхний)
Тогда если существует конечный , то I - интеграл Римана (где = max xk - диаметр разбиения)
В этом случае говорят, что функция f(x) интегрируема по Риману на [a; b].
( у нас есть интегральная сумма. И если существует конечный предел этой суммы при диаметре разбиения стремящимся к 0 пусть он равен И и если он не зависит от выбора разбиения и точек разбиения то И это и есть интеграл Римана)
Необходимое условие: если f (функция интегрируема по риману), то она ограничена.
Доказывается от противного , пусть функция неограничена тогда существует на каком то кусочке точка уходящая в бесконечность, тогда если её взять в разбиение мы получим бесконечность как слагаемое предела на этом отрезке,но по теореме предел должен быть конечным.