- •Общие понятия теории о.Д.У., примеры моделей динамических процессов Общие понятия:
- •Примеры задач:
- •Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах
- •Уравнения Бернулли и Риккати
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной. Задача коши
- •Теорема Коши о голоморфном решении
- •1) Построение формального решения
- •2) Сходимость
- •Метод малого параметра.
- •Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные системы д.У. Общие свойства
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами
Общие понятия теории о.Д.У., примеры моделей динамических процессов Общие понятия:
Обыкновенное диф ур-ие имеет вид F (x,y,y′,…., )) = 0. Здесь x — независимая переменная, y – функция и y′,…., – частные производные, а y = y(x) — искомая функция. Порядок старшей производной (n) называется порядком уравнения.
ДУ в частных производных – ДУ, которое имеет 2 и более независимых переменных.
Обычно функция F (F: G -> R) рассматривается в некоторой области G ⊆ Rn+2 - открытом связном множестве: каждая точка принадлежит множеству вместе с некоторой E окрестностью, и любые две точки можно соединить ломаной (не выходя за пределы множества).
Для открытого множества в Rm связность влечет линейную связность, причем достаточно ограничиться ломаными (с конечным числом звеньев).
Решение ОДУ: Функция y = φ(x), φ : ⟨a, b⟩ → R, называется решением (ОДУ F = 0 ), если выполняются условия: 1) производная φ(n) существует на ⟨a, b⟩; 2) (x, φ(x), . . . , φ(n)(x)) ∈ G, ∀ x ∈ ⟨a, b⟩; - не покидает область 3) F (x, φ(x), . . . , φ(n)(x)) ≡ 0, x ∈ ⟨a, b⟩ - подстановка функ. в ур-ие дает тождество.
При этом говорят об интегрируемости в квадратурах, если все решения ур-ия можно представить конечной композицией арифметич операций, элементарных функций, операций дифф-ия и интег-ия (даже если интегралы «не берутся» в элементарных фун-ях).
Интегральная кривая – график решения ДУ
Фазовая кривая - это проекция интегральной кривой на фаз прост-во, где кривая в каждый момент времени описывает состояние системы.
Примеры задач:
Тело массой m падает вниз. Сила вязкого трения пропорционально скорости. Определить зависимость скорости от времени.
В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество С. Требуется установить зависимость вещества С от времени. Если в начале реакции количество веществ было а и б
Зеркало отражает все лучи, выходящие из заданной точки, параллельно заданному направлению. Определить форму зеркала.
Про бактерии: В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество бактерий N0. Из опыта известно, что скорость размножения бактерий прямо пропорциональна их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий с течением времени.
Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах
С разделяющимися переменными:
y′ = f (x)g(y), f ∈ C(I) и g ∈ C(J) (непрерывные функции), I = (a, b), J = (c, d), g(y) ≠ 0
или эквивалентная форма: M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0
Если N2(y) ≠ 0 и M1(y) ≠ 0 для ∀ x∈[a, b] , ∀ y∈[c, d] получаем
интегрируем обе части
Однородные:
Пусть правая часть уравнения в нормальной форме представима функцией от дроби : y′ = f (x, y) = g( ), Признак: если домножить на одно и тоже число обе части, то ничего не изменится, т.е правая часть удовл этому соотношению
y′ = F( ) y = zx => y’ = z’x + z => z’ =
z’x + z = f(z)
|*
=> обр замена
ln|x| + C
x = ψ(z, c) z = => y =z(x)*x