Полагая y −α+1 = z , находим z′ = (−α +1)y −α y′, откуда y −α y′ = −αz′+1 ;уравнение принимает вид

z′ + (−α +1) p(x)z = (−α +1) f (x) .

(6.16)

Последнее уравнение является линейным дифференциальным уравнением (относительно искомой функции z = y1−α ).

Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение (4.2), можно решить с помощью подстановки y =u(x)v(x) ,атакжеможнопроинтегрироватьегосразуметодомвариациипостоянной.

Пример 6.4. Найти общее решение уравнения Бернулли y′+ 2ex y = 2ex y .

▲ Так как для данного уравнения α = 12 , можно сделать замену z = y1−α = y . Согласно урав-

нению (4.16), получим уравнение

z

′

+e

x

z = e

x

. Положим z = uv, тогда z

′

′

′

, уравнение

= u v +uv

примет вид

′

′

x

uv

= e

x

или

′

′

x

v) = e

x

.

u v +uv

+e

u v

+u(v

+e

В качестве v выберем одну из функций, удовлетворяющих уравнению

′

x

v = 0,

dv

x

v = 0

dx, dv

+e

x

dv

x

dx = 0, ln

v

= −e

x

, v = e

−ex

.

v

+e

dx

+e

vdx = 0

: v, v +e

′

x

, получим

Подставив эту функцию в уравнение u v = e

du e−ex

= ex

dx, du = eex exdx, u = eex +C .

dx

Следовательно, общим решением уравнения z′+ex z = ex является функция

z = uv =

(eex

+C)e−ex

или

z =1+C e−ex .

Общее решение исходного уравнения y = z2

=

(1+C e−ex

)2 . ▼

3. Дифференциальные уравнения второго порядка.

3.1. Задача Коши

Определение. Уравнение вида F(x; y; y′; y′′) = 0 , где x − независимая переменная; y − искомая функция; y′ и y′′ − ее производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Обычно изучают уравнения, которые могут быть записаны в виде, разрешенном относительно второй производной:

y	′′	′	(1.1)
		= f (x; y; y ) .

Возникает вопрос, какие надо задать условия, чтобы выделить определенное, частное решение уравнения (1.1)? Для дифференциального уравнения 1-го порядка y′ = f (x; y) доста-

точно задать значение y0 частного решения при каком-то значении x0 независимой переменной x, т. е. задать точку (x0 ; y0 ) , через которую должна проходить интегральная кривая этого

уравнения. Для уравнения 2-го порядка этого уже недостаточно.

Например, уравнение y′′ = 0 имеет решениями функции y = C1x +C2 , где C1, C2 − произвольные постоянные. Уравнение y = C1x +C2 определяет двухпараметрическое семейство

прямых линий на плоскости Oxy, и, чтобы выделить определенную прямую, мало задать точку (x0 ; y0 ) , через которую прямая должна проходить, – надо еще задать угловой коэффициент

прямой y′ x=x0 = y0′ .

23

В общем случае дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) для выделения частного решения надо задать два условия:

y		x=x0 = y0 , y′		x=x0 = y0′ ,	(1.2)

где y0 , y0′ − некоторые числа. Совокупность этих условий называетсяначальными условиями

для дифференциальногоуравнения(1.1). Задача Коши для этого уравнения ставится так: найти решение дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющее заданным начальным усло-

виям (1.2).

Для дифференциального уравнения 2-го порядка имеет место теорема существования и единственности решения (теорема Коши), аналогичная соответствующей теореме для дифференциального уравнения 1-го порядка.

Теорема 1.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция f (x; y; y′) непрерывна в некоторой окрестности Ω точки M 0 (x0 ; y0 ; y0′) , то найдется ин-

тервал x0 −ε < x < x0 + ε оси Ox, на котором существует, по крайней мере, одно решение y =ϕ(x) уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям y x=x0 = y0 , y′ x=x0 = y0′ .

Если, кроме того, функция f (x; y; y′) имеет ограниченные частные производные ∂∂fy , ∂∂yf′ в указанной окрестности Ω, то такое решение единственно.

Так, для уравнения y′′ = e−x2 y +sin y′ правая часть f = e−x2 y +sin y′, рассматриваемая какфункциятрехнезависимыхпеременных x, y, y′,непрерывна всюду иимеетограниченные

всюду производные ∂∂fy = e−x2 , ∂∂yf′ = cos y′.

Поэтому,каковабынибылатройкачисел (x0 ; y0 ; y0′) ,существуетединственноерешение

этого уравне6ния, удовлетворяющее начальным условиям (1.2).

Дадим теперь определения общего и частного решений уравнения (1.1), удовлетворяющего условиям теоремы Коши.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка в некоторой области Ω существования и единственности решения задачи Коши называется двух-

параметрическое семейство функций y =ϕ(x; C1 ; C2 ) , зависящих от x и двух произвольных постоянных C1 , C2 , такое, что:

1.прилюбыхдопустимыхзначенияхпостоянных C1 , C2 онаобращаетуравнение(1.1)

втождество;

2.значения постоянных C1 , C2 можно подобрать так, чтобы она удовлетворяла

начальным условиям (1.2).

Любая функция y =ϕ(x; C1(0) ; C2(0) ) , получающаяся из общего решения y =ϕ(x; C1 ; C2 )

уравнения (1.1) при определенных значениях постоянных C1 = C1(0) , C2 = C2(0) , называется

частным решением.

3.2. Уравнения 2 - го порядка, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (1.1) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения 1-го порядка. Такие преобразования уравнения (1.1)

называются понижением порядка.

24

3.2.1. Уравнение вида y′′ =

f (x) .

Уравнение не содержит y и y′. Введем новую функцию z(x) , полагая z(x) = y′.

′

′′

′

Тогда z (x) = y

, и уравнение превращается в уравнение 1-го порядка: z (x) = f (x) с ис-

комой функцией z(x) . Решая его, находим:

z(x) = ∫ f (x)dx + C1 .

Т. к.

z(x) = y′, то y′ = ∫ f (x)dx + C1 . Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое ре-

шение: y = ∫(∫ f (x)dx)dx + C1 x + C2 , где C1

и C2 − произвольные постоянные величины.

Пример 2.1. Найти общее решение уравнения

y′′ = 2sin x cos2 x −sin3 x .

′

′

= y

′′

, получаем уравнение 1-го порядка

▲ Полагая z(x) = y ,

z (x)

Решая его, находим:

z′ = 2sin x cos2 x −sin3 x .

dz = (2sin x cos2 x −sin3 x)dx, z(x) = −

2

cos3

x +cos x −

1

cos3

x +C , z(x) = −cos3 x +cos x +C .

3

3

1

1

Заменяя z(x) на y′ и интегрируя еще раз, находим искомое общее решение

y = −∫cos3 xdx + ∫cos xdx +C1 ∫dx, y = −∫(1−sin2 x)d sin x +sin x +C1x ,

y = −sin x +

1

sin3

x +sin x +C x +C

2

, y =

1

sin3 x +C x +C

2

,

3

1

3

1

где C1 и C2 − произвольные постоянные величины. ▼

= f (x; y )

3.2.2. Уравнение вида y

′′

′

′

Уравнение не содержит y. Положим,

как и в предыдущем случае, z(x) = y′,

тогда

= y

′′

, и

уравнение

преобразуется

в

уравнение

1-го

порядка относительно

z(x) :

z (x)

z

′

= f (x; z) . Решая его, найдем z(x) =ϕ(x; C1 ) . Т. к.

′

′

=ϕ(x; C1) .

z(x = y , то y

Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение y = ∫ϕ(x; C1)dx +C2 , где C1 и

C2 − произвольные постоянные величины.

y′

Пример 2.2. Найти общее решение уравнения

y′′−

= xe

x

.

x

▲

Положив

z(x) = y′,

получим

линейное

дифференциальное

уравнение 1-го порядка

z′

−

z

= xe

x

. Решив его, найдем

x

1

v

z = uv, z

′

′

′

′

′

x

,

′

′

x

,

−

uv = xe

−

= xe

= u v +uv , u v +uv

x

u v +u v

x

v

dv

dx

′

0, v

−

= 0, ln

v

= ln

x

, v = x ,

v

− x =

x

′

x

, du = e

x

dx,

u

= e

x

+C1, z = (e

x

+C1)x .

Отсюда

u x = xe

u = x,

du = dx,

y = ∫(ex +C1)xdx = ∫xexdx

+C1 ∫xdx =

=

x

dx,

v = e

x

dv

= e

= xex −∫exdx +C1

1

x2 = xex −ex +C1

1

x2 +C2 . ▼

2

2

3.2.3. Уравнение вида y

= f (y; y )

′′

′

Уравнение не содержит x. Вводим новую функцию z(y) , полагая z(y) = y′. Тогда

25