Практика 7 / Практика7(kad)
.pdfПрактика 7.1
Необходимо найтицисловыехарактеристики (математическоеожидание,дисперсию)и временные характеристики (корреляционнуюфункциюиинтервалкорреляции)для стационарного гауссовпроцесса соследующимиданными
σ:= 0.5 |
|
|
|
volt |
μ := 1 |
|
|
|
volt |
|
|
|
α:= 0.2 |
sec |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нормированная корреляционная функция |
ρ(τ) := e- α τ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Одномерная плотностьвероятностивсечениипроцессаX(t1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(x1 - μ) |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x1) := |
|
|
|
|
|
|
exp - |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
2 π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Математическоеожидание процесса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 σ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(x1 - μ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m1 := |
|
|
|
|
|
|
|
x1 exp - |
|
|
|
|
|
dx1 |
0.7071067811865475244 |
|
2 = 1 |
|
|
μ 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
σ |
|
2 π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
m1 := μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дисперсия процессавсечении X(t2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
(x2 - μ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D:= |
|
|
|
|
|
|
(x2 - m1) |
|
|
exp - |
|
|
|
|
|
dx2 |
0.1767766952966368811 |
2 |
|
= 0.25 |
|
|
||||||||||||
|
σ |
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
D:= σ2 = 0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Корреляционнаяфункция процесса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R(τ) := D exp(-α τ2) |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
R(τ) := σ2 exp(-α τ2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Оценимсогласно интервалукорреляции величинуинтервалукорреляциюпроцесса |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
τk(α) := |
∞ |
exp(-α τ2)dτ |
|
|
|
τk(α) 1.9816636488030055067 = 1.982 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1
Найтиматожидание,дисперсиюи корреляционнуюфункциюслучайного процесса U(t) при следующихданных
Um:= 2 |
volt |
|
ω0 := 0.2 sec |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
реализация вида u(t,ϕ) := Um cos(ω0 t + ϕ) |
|
u(t,ϕ) 2 cos(ϕ + 0.2 t) |
||||||||||||||||
p(ϕ) := |
|
1 |
|
if -π ϕ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
otherwise |
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
p(ϕ) |
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 10 - 5 0 5 10
ϕ
∞
Математическоеожидание M := ϕ p(ϕ) dϕ = 0
- ∞
|
|
1 |
2 |
|
|
∞ |
|
|
Дисперсия |
|
|
2 |
|
||||
D:= 2 |
Um = 2 |
D:= |
(Um cos(ϕ)) |
p(ϕ) dϕ = 2 |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
- ∞ |
|
∞
Интервалкореляции τ := p(τ) dτ = 0.5
0
Корелляционая функция |
R := D cos(ω0 τ) = 1.99 |
Задача 2
Найтиматожиданиеи дисперсиюстационарного случайного процесса X(t)прислед данных
Экспоненциальная плотностьвероятности |
λ := 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
p(x) := |
|
λ e- λ |
|
x |
|
|
if x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
if x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
- λ x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m := |
x λ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Мат.ожидание: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(x - m)2 (λ e- λ x)dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Дисперсия: |
D:= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найтисоотношение междупараметрами αи βприследующихисходныхданных |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
β:= 1 α:= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функция плотности распределения |
|
|
ff(x) := |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
вероятностейстационарного случайного |
|
1 + α x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
процесса X(t)вегосеченииt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Интегрирование отx |
|
|
|
|
|
|
|
f(x,α,β) := |
|
β |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + α x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
F(x,α,β) := |
f(x,α,β) dx π β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
- ∞ |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
ff(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ff(x) := |
|
|
|
|
|
dx π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 + α x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
10 |
- |
5 |
|
0 |
5 |
10 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
По определениюплотностивероятности =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогдасоотношение определяется уравнением |
|
|
|
|
|
π β |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4
Определитьдопустимое соотношениемеждупараметрами αи βи дисперсиюстационароного случайного процесса X(t)всечении tприследующихпараметрах
Плотностьвероятности |
P(x) := β e- |
α |
|
x |
|
|
|
или |
|
|
|
|
p(x,α1,β1) := β1 e- α1 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Интегрирование при |
|
β:= 1 α:= 2 |
|
для плотности |
|
|
P(x) := β e- α |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
или |
|
|
вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P(x) dx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
- e |
- α1 x |
|
|
|
|
|
β1 |
lim |
|
- e |
- α1 x |
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
β1 |
- β1 |
x ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
p(x,α1 |
,β1) dx |
|
|
|
|
|
|
|
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
α1 |
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таккакматкадругается интегрируемруками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Левая часть |
lim |
|
F1(α1,β1,x) |
assume,α1 > 0 |
|
|
lim |
|
F1(α1,β1,x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
интеграла |
x ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Правая части |
|
|
|
|
|
- |
α1 x |
|
|
|
2 β1 e |
- α1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 β1 |
|||||||||||||
интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
F1(α1, |
β1,x) := 2 |
β1 e |
|
|
|
|
|
dx |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
F1(α1,β1,0) - |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α1 |
|
|
|
α1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогдаинтегралравен |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 β1 |
|
|
2 β1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
FF(α1,β1) := 0 - - α1 |
|
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
Мат.ожидание: m := x P(x) dx 0
- ∞
Дисперсия: |
|
∞ |
|
D:= |
(x - m)2 P(x) dx = 0.5 |
|
- ∞ |
Задача 5
Соотношение между αиβпоопределению плотности вероятностиопределяеться уравнением:
2αβ = 1
Найтизначение параметра a идисперсиюслучайно величинына интервале от0 до d=2
d := 2 |
a := 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотностьвероятности |
p(x) := |
(a x) if |
0 x d |
|||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
a d2 |
0 otherwise |
|||||||
Функция распределенияя |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
черезплотностьвероятности |
F(a |
,d) := |
a xdx |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Тогда |
|
|
a := |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Матожидание: |
|
4 |
|
зависимость |
|
||||||||||
m := |
x a xdx |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
3 |
|
2 |
(x - m)2 x adx |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D:= |
= 0.222 |
||||||
Дисперсия для непрерывнойвеличины: |
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
9 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|