![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
окружности
.docОкружности
Основные определения |
||
|
Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая. Отрезок R, который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом. Отрезок DE, который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой. Хорда BC, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует. |
|
|
Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками. Вписанным углом, α, называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец. Центральным углом, β, называется угол, образованный двумя радиусами. |
|
Хорды |
||
|
Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги: AB||CD ⇒ ∪AC = ∪BD. |
|
|
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей: AC = BC ⇒ OC⊥AB. |
|
|
Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра: AB = CD ⇔ OK = OL. Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги: AB = CD ⇔ ∪AB = ∪CD. Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру: AB > EF ⇔ OK < OM. |
|
|
Угол, составленный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами, продолженными в обе стороны: α = ½·(∪AC + ∪BD). Если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то AM·MB = CM·MD. |
|
Касательные и секущие |
||
|
Прямая (a), которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (B), называется касательной к этой окружности. Прямая (a), которая перпендикулярна диаметру окружности (АВ) и проходит через его конец (В), является касательной к этой окружности. Касательная окружности перпендикулярна диаметру и радиусу, проведённым в точку касания. |
|
|
Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны: АВ = АС. Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны: ∠ВАО = ∠САО. |
|
|
Прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках, называется секущей. Если через точку М вне окружности проведена секущая к ней, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения с окружностью равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки М к окружности: МВ·МС = МА², и ∠М = ½·(∪AC – ∪АВ). |
|
|
Угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между его сторонами: ∠А = ½·(∪CD – ∪BE) и AB·AC = AE·AD. |
|
Касание двух окружностей |
||
Для двух окружностей с центрами О1 и О2, и радиусами R и r:
|
||
Углы в окружности |
||
Радиан – угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности. Один радиан содержит приближённо 57°17’44,8’’. Радиан принимается за единицу измерения углов при так называемом круговом, или радианном, измерении углов. Если радианная мера угла равна α, то угол содержит (180·α)/π градусов. Если градусная мера угла составляет п°, то круговая – πп/180 радиан. Так углам в 1°, 10°, 30°, 60°, 90°, 135°, 180°, 360° соответствуют углы, содержащие π/180, π/18, π/6, π/3, π/2, 3π/4, π, 2π радиан. |
||
|
Угловой величиной дуги называется величина соответствующего ей центрального угла: ∪АС = ∠АОС. Угловая величина дуги обладает следующими свойствами:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠АВС = ½·∪АС = ½·∠АОС. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: ∠ABC=∠ADC=∠AEC. |
|
|
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), является прямым: ∠ACВ= ½·∪АВ=½·180°=90°. |
|
Длина окружности и дуги |
||
|
Длиной окружности называется общая граница периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Отношение длины окружности к длине её диаметра одинаково для всех окружностей и обозначается греческой буквой π. π = 3,1415926535... . Длина окружности: L = 2πR. Длина дуги окружности, выраженной в радианной мере, равна произведению числа её радиан на радиус окружности: l = α·R. |
|
Площадь круга и его частей |
||
|
|
|
Площадь круга: S = π·R². |
Площадь сектора: S = ½·α·R². |
Площадь сегмента: S = ½·(α–sin α)·R². |