Binder1
.pdfТема 1. Введение. Первичные понятия теории вероятностей и простейшие способы определения вероятности.
Экскурс в историю развития теории вероятностей. Случайные явления и предмет теории вероятностей. Основные типы задач, решаемых с применением вероятностно-статистических методов и моделей. Понятия случайного эксперимента (испытания) и события. Случайное, невозможное и достоверное события. Статистическая устойчивость частот событий и интуитивное представление о вероятности. Пространство элементарных событий с конечным числом исходов и классическое определение вероятности. Геометрический и статистический способы определения вероятностей.
Вспомогательные сведения.
Предмет – то, на что направлена мысль, и что составляет ее содержание. Цель – то, к чему стремятся, что хотят осуществить.
Явление – всякое проявление чего-нибудь, как-нибудь.
Предмет теории вероятностей. Теория вероятностей – математическая наука, изучающая математические модели случайных явлений.
Случайное явление – протекающее спонтанно или воспроизводимое в ходе эксперимента явление, исход которого не предопределен в рамках его наблюдения (или постановки эксперимента). Должно обладать свойством статистической устойчивости событий, связанных с данным явлением.
Прикладные задачи теории вероятностей и математической статистики
1.Статистический приемочный контроль.
2.Оценка надежности системы.
3.Актуарные и финансовые расчеты.
4.Анализ СМО (систем массового обслуживания).
5.Прогнозирование временных рядов.
6.Маркетинговые исследования.
7.Изучение предпочтений, опросов общественного мнения. Например, Фехнер (1860, психофизика) сравнивал мало отличимые веса сосудов (300-3000 г 0,04-0,08).
8.Исследование взаимосвязей показателей и динамики стохастических процессов.
9.Воздействие средств массовой информации, размещение рекламы.
10.Анализ причин и характера безработицы
11.Управление запасами.
12.Выбор места отдыха (условия проживания, возможные развлечения, расходы, погода).
13.Другие.
Краткий исторический экскурс в становление теории вероятностей и математической статистики как научных дисциплин.
Первый период. Теория вероятностей возникла в середине 17-го века. Первые работы (Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс) связаны с подсчетом шансов в азартных играх и делением ставки в случае преждевременного окончания игры. Я. Бернулли (1713) установил ЗБЧ для схемы независимых испытаний с двумя исходами.
Классическая задача Де Мере (1654 г., Де Мере написал Паскалю)
1660 г. (Англия) Дж. Гранти, У. Пети подготовили социально-статистические обзоры по численности смерти и образе жизни.
Второй период (18-й век – середина 19-го). Связан с работами таких ученых как А. Муавр, П. Лаплас, К. Гаусс и С. Пуассон. Результаты нашли применение в теории ошибок наблюдений (геодезия, астрономия, теория стрельбы). Основные научные достижения: теоремы Лапласа и Пуассона, МНК (метод наименьших квадратов).
Появилась анкета. Д. Девис (1787) изучал семейные бюджеты. М. Иден (1794) подготовил отчет о положении бедных.
Третий период (2-я половина 19-го века). Исследования в России занимают ведущее место в мире. Российские ученые: П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков. Достижения: ЗБЧ и ЦПТ, цепи Маркова (случай зависимых испытаний).
В Западной Европе во 2-й половине 19-го века получили развитие работы по математической статистике: Бельгия – А. Кетле (ввел среднее, как один из индикаторов, доступных количественному анализу), Англия - Ф. Гальтон (регрессия), Австрия – Л. Больцман (статистическая физика).
Четвертый период (современный). Теория вероятностей и математическая статистика приобретают современные теоретические основы. Ученые: Э. Борель, П. Леви, М. Фреше (Франция); Р. Мизес (Германия); Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб (США); Г. Крамер (Швеция); С. Н. Бернштейн (предельные теоремы), А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров, Е. Е. Слуцкий (развитие теории случайных процессов), В. И. Романовский, Н. В. Смирнов, Ю. В. Линник, Л. Н. Большев (МС), и многие другие.
Выборочный метод впервые применил Артур Боули в 1912 к анализу данных опросов. 1934 – Д.Гэллап создал Американский институт общественного мнения.
Первичные понятия ТВ.
Осуществление некоторого комплекса условий – испытание (эксперимент, опыт,
наблюдение).
Определенный результат испытания – событие («наивное» определение, строгое – позже). Определяется обычно посредством высказывания.
Выделяют три типа событий: случайное (обозначение: A, B, C, ), достоверное ( ) и
невозможное ( ).
Случайное событие – любая комбинация исходов испытания, имеющая определенную вероятность наступления.
Если результат испытания – число или конечный набор чисел, то его описывают с помощью случайной величины (СВ). Если исходы опыта представляют собой последовательности, функции, кривые, преобразования, то используют понятие случайный элемент (функция, процесс и т.д.).
Случайный элемент – обобщение понятия СВ. Термин, видимо, введен М. Фреше (1948), посчитавшим, что развитие ТВ и расширение области ее приложений привело к необходимости от схем, где случайные исходы опыта могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где исходы опыта представляют собой, напр., функции, кривые, преобразования.
ТВ позволяет по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Такие расчеты основаны на том, что массовые случайные явления в стационарных условиях обладают свойством статистической устойчивости частот событий. Свойство проявляется в затухании с ростом количества наблюдений колебаний относительной частоты события относительно некоторого числа, называемого вероятностью этого события.
Элементарное событие – элементарный (наиболее простой) исход случайного эксперимента. Эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом. Эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. Могут иметь различную природу: число, вектор, кривая, качественная характеристика.
Несовместные события – не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Пространство элементарных событий – множество всех элементарных исходов
испытания. Невозможное событие трактуется как пустое множество, случайное событие – как некоторое подмножество . Наиболее общие абстрактные результаты в ТВ получены в предположении, что пространство имеет произвольную математическую природу. Более конкретные и доступные для понимания результаты получены в предположении, что имеет определенную математическую природу: является дискретным множеством, множеством или подмножеством k .
Пример 1. Испытание заключается в ответе на 30 вопросов теста с пятью вариантами ответа на каждый из них. В этом случае: элементарное событие (исход) – определенная последовательность
выбранных ответов 1, , 30 , где i 1, 2,3, 4, 5 , 1, , 30 – множество всех вариантов заполнения бланка тестирования. При этом – дискретное множество элементарных исходов.
Пример 2. Испытание заключается в перемещении автомобиля. Его максимальная скорость 200
км/час. Пусть |
V t – скорость авто в момент |
t . Множеством значений V t является |
|
0; 200 , |
одним из событий в момент t |
является A V t . Если |
будем |
интересоваться положением автомобиля, определяемым координатами X t и Y t , то |
2 . |
||
Если будем интересоваться траекторией движения из начальной точки 0;0 за время T , |
то – |
некоторое множество непрерывных функций, определенных на 0;T .
Вероятность – числовая характеристика возможности осуществления случайного события. В некоторых условиях возможен прямой подсчет вероятностей случайных событий.
Проведение статистического эксперимента (например, визуальное определение длины отрезка усилиями находящихся в аудитории студентов) и обсуждение его результатов.
Простейшие методы вычисления вероятностей
Классическое определение вероятности.
Условие применения: множество элементарных событий испытания состоит из конечного числа элементов n . Все элементарные события (исходы) равновозможны. Тогда вероятность появления
события A находится по формуле классической вероятности: P A mnA , mA – число исходов,
благоприятствующих появлению события A.
Для подсчета числа исходов удобно использовать элементы комбинаторики.
Правило произведения. Каждый исход испытания может быть получен в результате последовательного выполнения k различных действий. При этом первое событие может быть выполнено n1 различными способами, второе – n2 различными способами, последнее – nk . Число
различных исходов испытания: n1 n2 nk .
Перестановка – любое линейное упорядочение элементов данного множества. Число различных перестановок элементов множества, состоящего из n элементов равно n!
Выборка без возвращения. Имеется совокупность, состоящая из N элементов. Из нее последовательно по одному без возвращения в исходную совокупность извлекаются m элементов.
Извлекаемые элементы называют выборкой без возвращение объема m.
Сочетание – неупорядоченная выборка без возвращения. Одно сочетание отличается от другого только составом элементов.
Размещение – упорядоченная выборка без возвращения. Размещения могут отличаться как составом, так и порядком отбора элементов.
Число различных сочетаний, которые можно составить из N исходных элементов, извлекая m
элементов без возвращения
CNm |
N ! |
|
Am |
|
||
|
|
N |
, где |
|||
m! (N m)! |
m! |
|||||
|
|
|
Am N (N 1) ... (N m 1) .
N
m сомножителей
обозначается |
CNm |
и |
определяется |
выражением |
Am – число |
размещений |
из N элементов по m, |
||
N |
|
|
|
|
Некоторые свойства числа сочетаний:
1. CN0 1, |
CN1 N. |
2. CNm CNN m . |
Примеры применения формулы классической вероятности.
Пример 1. 3 раза бросается монета. Какова вероятность того, что выпадет одна и та же сторона? Решение. Испытание – бросание трех монет
Исход – последовательность из трех монет
A выпадет 3 раза одна и та же сторона
n 2 2 2 8 m 2
Пример 2. В урне 9 шаров: 2 белых, 3 черных, 4 синих. Из нее случайным образом извлекаются 3. Найти вероятности следующих событий: A = {все извлеченные шары белые}, B ={все извлеченные шары синие}, С = {одного цвета}, D = {среди извлеченных хотя бы 2 черных шара}, E = {все шары разного цвета}.
Решение. Испытание – извлечение трех шаров. Исход – три определенных шара,
n С93 9 8 7 ,
3!
m |
A |
0, m |
B |
C3 |
, |
m 0 C3 |
C |
3 |
, |
|||||
|
|
|
4 |
|
C |
|
3 |
4 |
|
|||||
m |
D |
C2 |
C1 |
C3 |
, |
m |
E |
C1 |
C1 |
C1 |
|
|
||
|
|
3 |
|
6 |
3 |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
Пример 3. Составляется список из 5 фамилий. Сколькими способами это можно сделать, если 1) все фамилии различные, 2) имеются 3 одинаковые фамилии?
Решение. Испытание – составление списка. Исход – список.
A список из 5 различных фамилий ,
В список из 5 фамилий, среди которых две одинаковых ,
C список из 5 различных фамилий, чтобы две определенных фамилии стояли рядом ,
m |
A |
5! 120, |
m |
B |
|
5! |
, |
m 4! . |
|
||||||||
|
|
|
2! |
|
C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4 (задача о сравнении двух выборок). Планируется проведение двух серий измерения роста X : X1, , X n1 – возможные результаты измерений роста юношей, Y1, ,Yn2 – возможные
результаты измерений роста девушек. При проверке гипотезы однородности данных по критерию Манна-Уитни исходные данные объединяют и упорядочивают в порядке возрастания. Какова вероятность событий:
A значение Yi |
|
расположено на s-м месте в объединенной выборке , |
|
||||||||
B значение Yi |
и Y j расположены на s-м и t-м местах в объединенной выборке . |
||||||||||
Решение. Испытание – упорядочение данных. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Исход – последовательность из n1 n2 -го значений. |
|
|
|
|
|||||||
При этом P A |
|
n1 n2 1 ! |
|
1 |
; P B |
n1 n2 2 ! |
|
1 |
|
|
. |
|
|
n1 n2 |
|
n n |
|
2 |
|||||
|
|
n1 n2 ! |
|
n1 n2 ! |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Пример 5 (семейная задача). В семье 4 сестры по очереди моют посуду. Из 4-х разбитых тарелок 3 разбито младшей сестрой. Можно ли ее оправдать, приписывая эти неудачи случайности. Решение. Вероятность случившегося события в предположении о равной вероятности разбития
каждой из тарелок каждой из сестер равна P A |
C43 3 |
|
12 |
0, 05. Вероятность мала. |
|
44 |
256 |
||||
|
|
|
Вывод: происшедшее нельзя объяснить неблагоприятным стечением обстоятельств.
Статистическое определение вероятности.
Вероятность случайного события полагается равной его относительной частоте, вычисляемой по результатам n независимых повторных испытаний:
m( A)
Wn ( A) n P( A) .
Здесь m A – частота A (число появлений события A), а m A n – его относительная частота
(частость).
Дж. Граунт (1620-1675): относительная частота смерти детей в возрасте от 0 до 6 лет равна
71124/229250 = 1/3.
Геометрическое определение вероятности.
Множеству элементарных исходов испытания поставим в соответствие некоторую геометрическую область G, а случайному событию A – геометрическую область GA . Тогда, если все исходы испытания равновозможны, вероятность появления события A можно найти по
формуле геометрической вероятности: P( A) мера(GA ) . В качестве меры используется длина,
мера(G)
площадь, объем в зависимости от вида геометрической области.
Пример (задача о встрече). Два судна должны прибыть в порт назначения от 13 до 14 часов. в порту один причал для разгрузки. Продолжительности разгрузки судов 5 мин. и 10 мин. Найти вероятность того, что одному из них придется ожидать окончания разгрузки другого?
Решение. В данном случае:
испытание – прибытие двух судов,
x, y – моменты их прибытия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию G x, y :13 x, y 14 , |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
GA |
x, y G : x y x |
|
|
, y x y |
|
. |
||
12 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
Им соответствует изображение
y x 1/12 |
14 |
y x 1/ 6 |
13 |
14 |
Поэтому
|
SGA |
1 |
|
5 / 6 |
2 |
|
11/12 |
2 |
||
P A |
2 |
|
2 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
SG |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2. Аксиоматическое построение теории вероятностей
Операции над событиями: пересечение, объединение, дополнение, разность, импликация. Основные свойства операций над событиями. Алгебра и -алгебра событий, событие как измеримое (наблюдаемое) множество. Аксиоматическое определение вероятности А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство, примеры вероятностных пространств. Следствия из аксиом: непрерывность вероятностной меры, свойства вероятности для объединения несовместных и совместныхсобытий, а также для объединения событий,образующихполную группу.
Действия над событиями и их геометрическая интерпретация. Свойства операций.
1.Пересечение (произведение) событий – событие, состоящее в их совместном появлении:
A B A B AB .
2.Объединение событий – событие, состоящее в появлении одного из них: A B. Сумма событий – объединение несовместных событий: A B.
3. Разность, симметрическая разность событий: A\ B AB, |
A B A\ B B\ A. |
4.Дополнение событий: A \ A. A – событие, противоположное к A.
5.Импликация событий: A B.
6.Равносильность событий: A B A B B A .
Примеры применения операций над событиями: сдача экзамена в «жестком» режиме,
освещение помещения люстрой, получил «3» – сдал экзамен.
Замечание. Возможна геометрическая интерпретаций операций над событиями с помощью диаграмм Эйлера-Венна, если испытанию поставить в соответствие бросание точки в прямоугольник, а каждомусобытию – круг в прямоугольнике.
Свойства операций над событиями.
1. Ассоциативность и коммутативность операций , – результат выполнения операций
|
объединения n |
Ai и пересечения |
n |
Ai |
не зависит |
от порядка следования событий и |
||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
очередности выполнения операций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Взаимная дистрибутивность операций объединения и пересечения: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
Ai |
BAi . |
||||||||||
3. |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
||||
Двойственность операций объединения и пересечения(формулы де Моргана): |
||||||||||||||||
|
|
|
n |
Ai |
n |
|
; |
|
|
n |
Ai |
n |
|
. |
||
|
|
|
Ai |
|
Ai |
|||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
Примеры содержательной интерпретации операций над событиями.
Пример 1. Пусть Ai = {i-й квартал фирма завершит с прибылью}, i 1,2,34. Тогда
4 Ai – весь год с прибылью,
i 1
2 Ai – первое полугодие с прибылью,
i 1
A1 A2 A3 A4 – только первый квартал с прибылью,
4
Ak Ai – только один квартал с прибылью,
k 1 |
i k |
4 Ai – по крайней мере (хотя бы) один квартал с прибылью.
i 1
Пример 2. Пусть – прибыль за год (в у.е.). Тогда
10 10 ,
5 10 ,
9 |
|
10 k , если показатель |
может принимать только целочисленные значения |
k 0 |
|
0,1,2, |
|
Пример 3. Если A B, то A B A, |
A B B. |
Случайное событие и вероятностное пространство (аксиоматический подход).
Аксиоматический подход тесно связывает ТВ с современной теорией функций и теорией множеств.
Основная проблема. Если более чем счетно, то определяя событие как его подмножество, невозможно построить логически непротиворечивую теорию. Причина кроется в существовании неизмеримых множеств.
Решение проблемы. Выделяется определенный класс подмножеств, элементы которого и объявляются событиями.
Вспомогательные сведения.
Множество измеримо, если его можно «сколь угодно точно приблизить» элементарными множествами. На прямой – отрезками, в пространстве – параллелепипедами и т.д.
Пример неизмеримого множества (Колмогоров, Фомин). C – окружность длины 1, - иррациональное число. К одному классу отнесем те точки окружности, которые могут быть переведены одна в другую поворотом окружности на угол n ,n Z. Из каждого класса берем по одной точке. Полученное множество неизмеримо.
Алгебра множеств – непустая система подмножеств A из :
1)A,
2)A A A A,
3)A,B A A B A.
-алгебра множеств (система подмножеств, замкнутая относительно счетного числа теоретикомножественных операций)– непустая система подмножеств A из :
1)A,
2)A A A A,
3*) A1,A2, A A1 A2 A.
Задать топологическое пространство – задать некоторое множество X и указать те подмножества, которые считаются открытыми.
Пару ,A называют измеримое пространство.
Пример (борелевская -алгебра). Борелевская -алгебра – наименьшая -алгебра подмножеств топологического пространства, содержащая все его открытые подмножества. Ее элементы называются борелевскими множествами. На числовой прямой R борелевская -алгебра задается на интервалах, в многомерном пространстве – на параллелепипедах.
Примечание.
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
a,b |
a |
|
;b ; |
a,b a;b |
|
; |
a |
a;a |
|
. |
||
n |
n |
n |
||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
Далее – пространство элементарных событий, а A – -алгебра множеств, заданная на этом пространстве. Все элементы из A называются событиями, все остальные элементы событиями не являются.
Испытание (trial) при аксиоматическом подходе – любое разбиение пространства элементарных событий на попарно непересекающиеся события, которые называются «исходами испытания».
Аксиоматическое определение вероятности (Колмогоров А.Н.)
Вероятность на ,A есть числовая функция, определенная на множествах из A и обладающая
свойствами. |
|
|
||
А1. |
P A 0 (аксиома неотрицательности). |
|||
А2. |
P 1 (аксиома нормированности). |
|||
А3. |
Для несовместных событий A1, ,An верна аксиома аддитивности: |
|||
|
|
n |
|
n |
|
P |
Ak |
P Ak . |
|
|
k 1 |
|
k 1 |
А3*. Для несовместных событий A1, ,An, верна аксиома аддитивности:
|
|
|
|
|
P Ak . |
||
P |
Ak |
||
k 1 |
|
k 1 |
Эквивалентным аксиоме А3* является требование аддитивности А3 и аксиома непрерывности А4. Функция множеств P A 0 непрерывна, т.е. для любой монотонной последовательности
событий Bn : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limP B |
P |
|
limB |
, где |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n n |
|
|
||
B limB |
|
|
B , |
если |
B |
|
– неубывающая последовательность ( |
B ), |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B limB |
|
|
B , если |
B |
|
– невозрастающая последовательность (B ), |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
Bn – неубывающая последовательность. Тогда |
||||||||||||
Доказательство. Пусть |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B Bn Bn \ Bn 1 , |
|
B0 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
В силусчетной аддитивности вероятностной меры |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P B P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Bn \ Bn 1 |
limP |
Bj \ Bj 1 lim |
P Bj P BjBj 1 |
|||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
j 1 |
|
n |
j 1 |
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
j 1 |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
P |
B |
P |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
limP B . |
|
|
|
|
|
|
|
j 1
Предел существует по теореме о монотонной сходимости.
Тройка |
,A,P – вероятностное пространство. Вероятность |
на ,A называют |
распределением вероятностей на или просто распределением на (на ,A ). |
||
Пример 1. |
Распределение на дискретном множестве можно задать, |
определив вероятности |
p1 P 1 , p2 P 2 , элементарных исходов 1, 2, , потребовав |
p1 p2 1. В этом |
случае событием является любое подмножество из , а его вероятность равна |
P A P i . |
|
i A |
Пример 2. Распределение на непрерывном множестве R можно задать, определив вероятности на открытых интервалах ,x по правилу: P ,x F x с помощью функции
распределения F x , обладающей свойствами:
1)неубывающая и непрерывная слева,
2)0 F x 1.
Следствия из аксиоматического определения вероятности.
1. Формула сложения вероятностей для несовместных событий:
n |
|
n |
P Ak |
P Ak . |
|
k 1 |
|
k 1 |
Опр. События образуют полную группу (разбиение), если несовместны, а в результате испытания может произойти только одно из них.
2.Свойство полной группы событий:
P A1 P An 1
3.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
4.Вероятность невозможного события равна 0.
5.Для любых событий A и B справедлива формула сложения вероятностей
P A B P A P B P AB
n n
6.P Ak 1 P Ak
k 1 |
|
k 1 |
|
P Ai P AAi j P AAi j Ak
|
|
i |
i j |
i j k |
n |
|
n |
|
|
7. P Ak |
Ak. |
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|