Вариант 16

1ex

1.∫dx ∫ f (x, y)dy .

0x2

2.

L : ( x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ) , δ(x, y)=1.

3.

S :

x2 + y2 + z2 = a2

;

S

2

:

x2 + y2 + z2 = b2 ;

1

S3

: x2 + y2 = 3z2 , S4 : x2 + y2 =

z2

, (0 < a < b).

3

4.

S :

y2 = 2 pz; S

2

:

x2 + y2 = a2;

S

3

:

z = 0 ; ось OZ .

1

x = t

3t

2

5.

=

(0 ≤ t ≤1).

Вычислить длину дуги кривой y

2

;

z = t

3

6.

Вычислить массу

однородного

участка поверхности

z2 = x2 + y2 , вырезанного цилиндром x2 + y2 = 2x .

7. U (x, y, z)= x + ln( y2 + z2 ) , M (2; 1; 1) , l = −2ir + rj − k .

8.ar = 2xy ir + x2 rj , L - отрезок MN , M (1, 2), N(3, −1).

9.ar = (x −3) ir + ( y + yz2 ) rj + (z + zy2 ) kr ,

S :	y2 + z2 = x2 ; S	2		: x =1.
1	ar = x ln(1 + y2 )ir +
10.				x2 y	rj , Γ: x2	+ y2	= 2x .
		1
				+ y2

11.ar=2xyzir+x2z rj +x2ykr.

70

					Вариант 17
		1		0		0	0
1.		∫ dx		∫ f (x, y)dy + ∫dx∫ f (x, y)dy .
	−		2	− 2−x2		−1	x
2.	L		: x	2 + y2 = 2x;	L	: y ≥ 1 x ; δ(x, y)≡1 .
	1				2		3

3.S1 : x2 + y2 = 3z; S2 : x2 + y2 + z2 = 4.

4.

S :

x2 + y2 + z2

= a2 ;

S

2

: x2 + y2 = 1 z2 ,;

1

3

S3 :

y = 0;

( y ≥ 0) ; ось OZ .

AB ,

5.

Вычислить

массу

прямолинейного

стержня

где

A(−1; 0),

B(0; 1) ,

если

линейная

плотность

в каждой его

точке

вычисляется по закону δ(x, y)= − 43 x + 3

y .

6.

Найти

координаты

центра

тяжести

однородной

параболической оболочки 2z = x2 + y2 ,

(0 ≤ z ≤ a).

7.

U (x, y, z)= x2 y −

xy + z2 , M (1; 5; − 2) ,

l = 2 rj − 2k .

8.

ar=(x + y) i +(z +x) j ,

L

–

ломаная

MKN ,

M (0, 0, 0);

K(1, 0, 0);

N(2, 1, 1).

9.

r

r

r

S : x2

+ z2 = 4 − z, (z ≥ 0) ,

a = xi + xzj + yk ,

1

S2 :

z = 0 .

r

r

r

2

+ y

2

+ z

2

= 4

10.

− j + yk ,

Γ:

x

.

a = xzi

=1

z

11.ar=(yx+1) ir+xz rj +xy k .

71

Вариант 18

1

x

4

2−x

1.

∫dx ∫ f (x, y)dy + 3∫dx ∫ f (x, y)dy .

0

x

1

x

2

2

2.

S

3

: x =1 ;

S : z = x + y +1; S

2

: y2 = x ;

S

4

: y = 0 ;

1

S5 : z = 0 ; y ≥ 0 .

3.

S1 : x2 + y2 +z2 =4; S2 : z =1, (z >1).

4.

S : x2 + y2

+z2 =4 ;

S

2

: z = x2

+ y2 ;

S

3

: x = 0 ;

1

S4 : y = 0 ; S5 : z =0; ось OZ .

5.

Вычислить

момент

инерции верхней

половины

окружности

x2 + y2 = a2 относительно оси OY, если ее плотность δ(x, y)≡1 .

6.

Найти массу участка поверхности z2 = x2 + y2 ,

(0 ≤ z ≤1),

если плотность δ(x, y, z)= z .

7.U (x, y, z)= y ln(1+ x2 ) −arctg z , l = 2ir−3rj −2k , M (0; 1; 1) .

8.

r

=

r

r

r

L

– отрезок

MN ,

M (1, 1, 1) ,

a

5i

+ (x2z − yx) j

+ xk ,

N(2, 3, 1).

r

r

9.

r

S : x2

+ z2 =1, S

: y =1 , S

: y = 5 .

a

= xi

+ yj + xyzk ,

2

3

1

ar

= (x2

r

+ (x2 + y2 )

r

4 − x

2

10.

− y2 )i

j ,

Γ: y

=

.

= 0

y

11.ar =(2xy + z) ir+(x2 −2 y) rj + x kr .

72

Вариант 19

	1	0	2	0
1.	∫dx ∫ f (x, y)dy + ∫dx ∫ f (x, y)dy .
	0	− x	1 −	2−x
2.	S : x =2y2; S : x+2y+z =4; S : y =0; S : z =0.
	1		2			3	4
3.	S1	: x2 +y2 +z2 =4;		S2 : x2 + y2 + z2 =16 ;				S3 : z = 0 ;
δ(x, y, z)= z .
4.	S : x2 + y2		+ z2 = 25 ;	S	2	: x2 + y2	=16 ; S : z =0,		(z ≥ 0) ;
	1						3
P : z = 0 .
								x = a cost
5.	Вычислить массу первого витка винтовой линии								= a sin t ,
								y
									= a t
								z

если плотность в каждой ее точке равна δ(x, y, z)=

z2

.

x2 + y2

6.

Вычислить площадь участка поверхности

z2 = 2xy при z > 0 ,

0 < x < a , 0 < y <b .

7.

U (x, y, z)= x(ln y −arctg z) ,

M (−2; 1; −1) ,

l =8ir + 4 rj +8k .

r

8.

ar

=(x2

r

M (1, 0, 1),

N(−2,1, 2).

+yz) i

+2 k , L – отрезок MN ,

9.

r

r

r

+z2 =9, S

:

y

= 0 , S

: y = 3 .

a

= xi

+ yj + xyzk , S : x2

2

3

1

10.

r

r

r

Γ:

y = sin x

, 0

≤ x ≤ π.

a

= (x + y)2 i −(x − y)2 j ,

ar

r

r

r

y = 0

11.

= yi +xj +ezk .

73