Фгбоу впо «калининградский государственный
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ФИЗИКИ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ИЗУЧЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО И
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ
Методическое указание к выполнению лабораторной работы по разделу «Механика» для студентов всех форм обучения по всем специальностям
Калининград
2001
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1.1. Ознакомление с физическим и математическим маятниками, изучение периодического движения маятников как примера колебаний в системах с одной степенью свободы.
1.2. Измерение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника.
1.3. Измерение периода колебаний физического маятника и сравнение его с расчётным значением.
1.4. Измерение момента инерции тела сложной формы с помощью физического маятника.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ РЕКВИЗИТ: груз, ручной секундомер (при необходимости).
2. Введение
Колебаниями называются периодические изменения состояния некоторой системы, обладающей положением устойчивого равновесия (покоя) и характеризующейся собственной частотой колебаний.
Частным случаем (и наиболее наглядным) являются механические системы (устройства), в которых могут возникать периодические движения (поступательное, вращательное, плоское и т.д.), т.е. колебания, когда через равные интервалы времени повторяются значения координат, скоростей, ускорений, энергий и т.п. тел (точек), образующих данную систему.
Если положение механической системы в пространстве можно определить с помощью одного параметра (линейной либо угловой координаты), тогда такая система называется системой с одной степенью свободы.
В данной работе будут рассмотрены механические системы с одной степенью свободы, обладающие положением устойчивого равновесия и собственной частотой колебаний.
Частотой(обыкновенной) νо называется число одинаковых состояний в единицу времени. Единица измерения ν0-Гц. Однако при изучении колебаний оказывается удобным использовать также другой интервал времени Δt = 2π сек. и, соответственно, применять другое значение частоты КО, как числа одинаковых состояний за время 2π сек. Частота КО называется собственной циклической частотой данной системы, её размерность [К0] =c-1и она связана с частотойν0соотношениемК0 = 2π ν0. Необходимость введения двух значений частот объясняется тем, что обыкновенную частотуν0можно найти из опыта, измеряя число одинаковых состояний на некотором промежутке времени; циклическую частотуК0можно вычислить теоретически, зная параметры системы.Периодом колебанийТ0называется интервал времени между двумя ближайшими одинаковыми состояниями. Очевидно:cиc.
Физическим маятникомназывается устройство, содержащее твёрдое тело, подвешенное в гравитационном поле на оси, не проходящей через центр масс тела (рис. 1).
d φ D- точка на оси подвеса С - центр
масс |DC|
= l d
- плечо силы C D Рис.
1
Однако, если тело отклонить на некоторый угол φ(показан на рис. 1), тогда появляется момент силы тяжести, численно равный
φ,
где φ =d(момент силы реакции остается нулевым, т.к. эта сила приложена в точке подвеса).
Учитывая направления проекции вектора момента , получаем следующее уравнение вращательного движения тела вокруг оси в точкеD:
φ, (1)
где - момент инерции тела относительно оси подвеса;
- масса тела;
- ускорение силы тяжести.
Будем считать угол отклонения φмалым, чтобы выполнялось условие
φ ≈ φ
Тогда уравнение (1) запишется в виде:
φ (2)
Преобразуем уравнение (2), перенося все его члены в левую часть и разделив на коэффициент при первом члене:
= 0 (3)
Обозначим:
=К02
и получим
φ = 0 (3а)
В математике уравнения типа (3а) называются линейными дифференциальнымиуравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.Заметим, что линейность этого уравнения в данном случае обусловлена малостью отклонений от положения устойчивого равновесия. В теории дифференциальных уравнений доказано, что решением уравнения (3а) является функция
, (4)
где - амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия);
- начальная фаза, т.е. параметр, характеризующий начальное положение тела;
- собственная циклическая частота колебаний.
Подчеркнём, что частота может быть вычислена заранее, если известны момент инерции, масса и положение центра масс тела.
Согласно выражению (4) угол поворота будет периодически изменяться с течением времени, т.е. тело, подвешенное, как показано на рис. 1, начнет поочерёдно отклоняться то влево, то вправо от вертикали, повторяя свои положения через равные промежутки времени. Таким образом, возникают колебания, в процессе которых будут повторяться также значения угловых скоростей и ускорений, кинетической и потенциальной энергий и т.д. Само же тело при этом совершает частный вид механического движения - вращение вокруг оси подвеса.
Математическим маятником называется некоторое идеализированное устройство, содержащее материальную точку, подвешенную в гравитационном поле на жёстком невесомом стержне, способном вращаться на оси, проходящей через точку подвеса.
Очевидно, что математический маятник - это частный случай физического маятника при условии, что центр массы подвешенного тела расположен в его нижней точке. Следовательно, момент инерции в такой конструкции равен
J=ml2 , гдеl - расстояние до оси подвеса.
Уравнение (3) запишется в виде:
или φ = 0, (5)
где
Решением уравнения (5) попрежнему будет функция вида (4). Но при этом частота К0определяется только длинойl, т.е. расстоянием от оси подвеса до точки, где сосредоточена масса системы.