- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 1
- •6. Найти точное решение краевой задачи:
30
4.1. Практическая работа № 4. Численное интегрирование
Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 6 часов практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и
автоматизированных систем» - 2 часа.
План занятий:
1.Актуализация понятий неопределенного, определенного, несобственных и кратных интегралов, сходимости несобственных интегралов, свойств определенных и несобственных интегралов.
2.Повторение квадратурных формул Ньютона-Котеса, Гаусса, оценок погрешностей и порядков точности квадратурных формул.
3.Повторение метода повторного счета (правила Рунге)
4.Повторение первой и второй схем метода Монте-Карло.
5.Повторение алгоритма вычисления приближенных значений первообразной, методов приближенного вычисления несобственных и кратных интегралов.
6.Решение примеров.
7.Консультирование студентов по выполнению домашней
работы.
Рассматриваемые примеры:
1 |
1. |
Для вычисления приближенного значения интеграла |
|
dx |
используется метод средних прямоугольников. Пользуясь |
||
I = ò |
|||
1+ x |
|||
0 |
|
оценкой погрешности для формулы средних прямоугольников, подобрать число отрезков разбиения n и шаг интегрирования h так, чтобы абсолютная погрешность приближенного значения интеграла не превышала ε =10−3 .
Решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
Приближенное значение интеграла I = ò f (x)dx вычисляется по |
||||||||
следующей |
|
|
обобщенной формуле |
a |
||||
|
|
средних прямоугольников: |
||||||
n |
æ x |
|
+ x ö |
|
||||
Q(h) = hå f ç |
|
i−1 |
|
i |
÷. Здесь n – заданное число отрезков разбиения, |
|||
|
|
|
|
|||||
i=1 |
è |
|
- |
2 |
ø |
|
||
h = (b − a) n |
|
|
|
|
шаг интегрирования, |
xi = a + hi (i = 0,1, , n ) – узлы |
квадратуры.
Запишем оценку погрешности приближенного значения Q(h) :
31
|
I − Q(h) |
|
≤ |
M 2 (b − a)h2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x) ≤ M 2 |
|||||
Здесь M 2 − положительная постоянная, такая, что f |
|
|||||||||||||||||||||||
на [a;b]. В нашем случае a = 0, b =1, h =1 n , f ( x) = |
1 |
. |
|
|
′′ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1+ x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Найдем |
|
|
постоянную |
|
M 2 . |
Для |
этого |
вычислим |
|
вторую |
||||||||||||||
производную |
|
|
подынтегральной |
функции: |
2 |
|
|
. Эта |
||||||||||||||||
|
|
|
f ′′(x) = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
(1 + x)3 |
|
||||||||||||||||||||||
производная, |
|
|
очевидно, убывает |
на |
[a;b] =[0;1] и положительна. |
|||||||||||||||||||
Поэтому |
|
f ′′(x) |
|
= f ′′(x) = |
|
|
2 |
|
≤ f ′′(0) |
= 2 на [a;b] =[0;1]. Таким образом, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
(1 |
+ x) |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 = 2 .
Учитывая это, оценку погрешности можно записать в виде:
I -Q(h) |
|
£ |
1 |
|
. Ее удобнее выражать через n. |
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
24n2 |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
Значение n |
|
будем выбирать исходя |
из требования: |
|||||||||
I - Q(h) |
|
£ |
1 |
|
£ ε =10−3 |
, |
обеспечивающего для |
приближенного |
||||
|
|
|||||||||||
|
24n |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения интеграла заданную точность. Решим это неравенство
относительно n: n ³ |
1000 » 6,5 . |
Наименьшее |
целое значение |
n, |
|
|
|
24 |
|
|
|
удовлетворяющее этому неравенству, равно 7. Итак, n = 7 , h =1 7 . |
|
||||
2. Составить алгоритм вычисления приближенного значения |
|||||
интеграла |
b |
методом |
Симпсона с |
погрешностью, |
не |
I = ò f (x)dx |
a
превышающей заданного положительного числа ε . Значение m подбирается методом повторного счета с использованием асимптотической оценки погрешности по правилу Рунге. Записать алгоритм на алгоритмическом языке.
Решение:
Исходными данными для алгоритма являются значения a, b, ε и функция f (x) . Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле:
Q(m) = h |
æ |
m-1 |
f ( x |
|
) + 4 |
m |
f ( x |
|
ö |
ç f (a) + f (b) + 2 |
å |
2×i |
å |
2×i-1 |
)÷ . |
||||
3 |
ç |
|
|
|
÷ |
||||
è |
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
ø |
Здесь h = (b − a)2m − шаг интегрирования, xi = a + hi (i = 0,1, ,2m ) –
узлы квадратуры. В обозначении приближенного значения интеграла Q(m) подчеркнута зависимость его от параметра m. Подставляя значения узлов, получим:
Q(m) = h |
æ |
m-1 |
f (a + 2ih) + 4 |
m |
ö |
ç |
å |
å |
÷ |
||
ç f (a) + f (b) + 2 |
|
|
f (a + (2i -1)h)÷ . |
||
3 |
è |
i=1 |
|
i=1 |
ø |
32
Значение параметра m подбирается методом повторного счета так, чтобы абсолютная погрешность Q(m) не превышала ε . При этом используется асимптотическая оценка погрешности по правилу Рунге
I −Q(2m) |
|
≤ |
|
|
Q( 2m) −Q( m) |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
||||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2k −1 |
|||
|
|
|
|
Здесь k = 4 − порядок точности обобщенной формулы
Симпсона.
Метод повторного счета представляет собой цикл, в котором последовательно вычисляются значения Q(m) при m =1, 2, 4, 8, 16, На каждом шаге этого цикла, начиная со второго, проверяется условие достижения заданной точности:
Q( 2m) −Q( m) ≤ ε .
15
Как только это условие выполнится, цикл свою работу закончит и в качестве искомого приближенного значения интеграла выбирается последнее вычисленное значение Q(2m) .
На каждом шаге цикла используются только два приближенных значения интеграла. Поэтому мы введем две переменные Q1 и Q2 , которые в цикле должны принимать попарно следующие значения: Q1=Q(1) , Q2 =Q(2) ; Q1=Q(2) , Q2 =Q(4) ; Q1= Q(4) , Q2 =Q(8) и так далее. Заметим, что значение Q1 на всех шагах цикла, кроме первого, совпадает со значением Q2 на предыдущем шаге цикла. Поэтому в цикле мы будем вычислять только значение
Q2 =Q(2m) , а значение |
|
Q1=Q(m) |
мы |
будем передавать |
с |
||
предыдущего шага цикла: Q1 := Q2 . Условие окончания цикла в этом |
|||||||
случае примет вид: |
|
Q2 −Q1 |
|
≤ ε . |
Если |
используется цикл |
с |
|
|
||||||
15 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
постусловием, то для того, чтобы цикл мог начать работу, необходимо до цикла вычислить начальное значение:
Q2 |
=Q(1) = |
h |
æ |
æ a + b öö |
||
3 |
ç |
f (a) + f (b) + 4 f ç |
2 |
÷÷. |
||
|
|
è |
è |
øø |
Введем в алгоритмический язык цикл с постусловием, аналогичный циклу repeat в языке Паскаль
нц повторять
Команды, повторяемые в цикле кц пока не Условие окончания цикла.
Запишем алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью на алгоритмическом языке, используя введенную команду цикла с
33
постусловием:
алг Метод Симпсона с автоматическим выбором шага (арг вещ a,
b, ε , рез вещ Q2 )
нач вещ Q1, h, s1 , s2 ; цел m, i
m :=1 | Задание начального значения параметра m h := (b − a)2m ; | Вычисление соответствующего
| значения шага интегрирования
Q2 |
:= |
h |
æ |
æ a + b öö |
; | Вычисление |
||
3 |
ç |
f (a) + f (b) + 4 f ç |
2 |
÷÷ |
|||
|
|
è |
è |
øø |
|
|начального значения
| Q2 = Q(1)
нц повторять | Начало цикла метода повторного счета
Q1 := Q2 ; |
| Передача значения Q2 с предыдущего |
|
| шага цикла или начального значения. |
m := 2m; |
| Изменение значения параметра m. |
h := (b − a)2m ; | Вычисление соответствующего
| значения шага интегрирования
s1 :=0;
нц для i от 1 до m-1
s1 := s1 + f (a + 2ih) | Вычисление суммы
m−1
| s1 = å f (a + 2ih)
i=1
кц
s2 :=0;
нц для i от 1 до m
s2 := s2 + f (a + (2i − 1)h) |
| Вычисление суммы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
| s2 = å f (a + (2i −1)h) |
кц |
i=1 |
||||||
|
|||||||
Q2 := h ( f (a) + f (b) + 2s1 + 4s2 ) | Вычисление |
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
| Q2 =Q(2m) |
|
|
|
Q2 − Q1 |
|
|
|
|
кц пока не |
|
|
|
|
|
≤ ε | Конец цикла метода |
|
|
|
15
| повторного счета
кон
3. Записать формулу Гаусса с 3-мя узлами для вычисления
b
интеграла I = ò f ( x)dx и найти оценку абсолютной погрешности
a