Funk_metoda_part_1
.pdfМIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРА НИ ОДЕСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ iм. I.I. МЕЧНИКОВА
Iнститут математики, економiки та механiки
МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ ДО КУРСУ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО АНАЛIЗУ
Метричнi, нормованi i гiльбертовi простори
Для студентiв факультету математики
ОДЕСА 2005
У методичних вказiвках наведенi деякi основнi означення i факти теорi¨ метричних, нормованих i гiльбертових просторiв. Наведенi приклади розв'язання задач i запропонованi задачi для самостiйного розв'язання. При пiдборi задач особлива увага придiлялася просторам функцiй i послiдовностей C[a,b], Lp[a,b],
lp, якi ¹ найважливiшими як для теорi¨, так i для практики.
Данi методичнi вказiвки мають сво¹ю метою допомогти студентам оволодiти основними поняттями i методами функцiонального аналiзу, а головне, виробити практичнi навики ¨х застосування до розв'язання задач.
Теоретичний матерiал, пов'язаний з темою цих методичних вказiвок, можна, наприклад, знайти в пiдручниках [1 9]. Бiльшiсть завдань для вправ запозичено iз збiрникiв [10 14].
Методичнi вказiвки складенi так, щоб бути використаними при кредитно-модульнiй системi навчання. За матерiалом, викладеним в роздiлi "Метричнi, нормованi i гiльбертовi простори", плану¹ться провести три модуля. При цьому
задачi для 1-го модуля будуть складенi iз завдань 1-го роздiлу цiх методичних вказiвок;
задачi для 2-го модуля iз завдань 2-го i 3-го роздiлiв; задачi для 3-го модуля iз завдань 4-го i 5-го роздiлiв.
Склали: Вартанян Г.М., Неча¹в А.П., Малаксiано М.О., Леончик .Ю.
Друку¹ться згiдно з рiшенням вчено¨ ради IМЕМ. Протокол __ вiд 10.06.05
2
Çìiñò
1 |
Метричнi простори |
4 |
|
|
1.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
|
1.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
2 |
Принцип стискуючих вiдображень |
17 |
|
|
2.1 |
Основнi факти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
|
2.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
3 |
Компактнi множини в метричних просторах |
25 |
|
|
3.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
|
3.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
4 |
Лiнiйнi нормованi простори |
29 |
|
|
4.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
4.2 |
Вправи на тему Лiнiйнi нормованi простори . . . |
37 |
|
4.3 |
Вправи на тему Еквiвалентнi норми . . . . . . . . |
43 |
|
4.4 |
Фактор-простiр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
|
4.5 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
5 |
Гiльбертовi простори |
48 |
|
|
5.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
|
5.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
3
1Метричнi простори
1.1Основнi означення
Означення 1. Множина X назива¹ться метричним простором, якщо кожнiй парi елементiв x, y X поставлено у вiдповiднiсть
таке дiйсне число ρ(x, y), яке назива¹ться метрикою, або вiдстанню, i виконуються наступнi три аксiоми:
1. |
ρ(x, y) ≥ 0 x, y X; |
|
ρ(x, y) = 0 òîäi i ëèøå òîäi, êîëè x = y (аксiома тотожностi); |
2. |
ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y X (аксiома симетрi¨); |
3. |
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) x, y, z X (аксiома трикутника). |
Метричний простiр позначають через (X, ρ), пiдкреслюючи, що на множинi X визначена вiдстань ρ.
Означення 2. Нехай (X, ρ) метричний простiр i x0 X.
Вiдкритою кулею з центром в точцi x0 ðàäióñà r > 0 назива¹ться множина
B(x0, r) = {x X : ρ(x, x0) < r}.
Означення 3. Нехай (X, ρ) метричний простiр i множина
E X. Точка x0 X назива¹ться внутрiшньою для множини E, ÿêùî iñíó¹ êóëÿ B(x0, r) E.
Означення 4. Нехай (X, ρ) метричний простiр. Множина
E X назива¹ться вiдкритою, якщо кожна ¨ точка ¹ внутрiшньою.
Нехай метричний простiр i x0 X. Околом точки x0 назива¹ться будь-яка вiдкрита множина iз X, якiй належить точка x0. Окiл точки x0 познача¹ться через U(x0).
Далi, для простоти, метричний простiр (X, ρ) будемо познача- ти коротко через X.
Означення 6. Точка x0 X назива¹ться граничною точкою множини E X, якщо будь-який окiл цi¹¨ точки мiстить нескiн-
ченну кiлькiсть точок множини E.
Легко бачити, що це означення можна сформулювати iнакше.
4
Точка x0 X назива¹ться граничною точкою множини E X, якщо будь-який окiл цi¹¨ точки мiстить деяку
точку з E âiäìiííó âiä x0.
Означення 8. Множина E з метричного простору X назива¹ться замкненою, якщо ¨й належать всi ¨¨ граничнi точки.
Порожню множину i всю множину X будемо вважати одно- часно i вiдкритими i замкненими за означенням.
Означення 9. Замиканням множини E X назива¹ться перетин усiх замкнених множин, яким належить множина E. Замикання множини E познача¹ться через E.
Означення 10. Множина E назива¹ться всюди щiльною в
метричному просторi X, ÿêùî E = X.
Означення 11. Метричний простiр назива¹ться сепарабельним, якщо в ньому iсну¹ зчислена всюди щiльна пiдмножина.
Означення 12. Послiдовнiсть точок {xn}∞n=1 метричного про- стору X назива¹ться збiжною до точки x0 X, ÿêùî ε > 0 n0 N òàêå, ùî n ≥ n0, n N викону¹ться нерiвнiсть
ρ(xn, x0) < ε.
Означення 13. Послiдовнiсть точок {xn}∞n=1 метричного про- стору X назива¹ться фундаментальною, якщо ε > 0 n0 N òàêå, ùî n ≥ n0, m ≥ n0, n, m N викону¹ться нерiвнiсть
ρ(xn, xm) < ε.
Означення 14. Метричний простiр X назива¹ться повним,
якщо в цьому просторi кожна фундаментальна послiдовнiсть збiга¹ться до елемента того ж простору.
Означення 15. Дiаметром множини A називають число
diamA = supx,y X ρ(x, y). Якщо дiаметр множини ¹ скiнченним числом, то множина обмежена. Вiдстанню вiд точки x X äî ìíî-
æèíè A називають число ρ(x, A) = infy A ρ(x, y). Вiдстанню мiж множинами A, B X називають ρ(A, B) = infx A, y B ρ(x, y).
Приклад 1. Довести, що множина C[a;b] неперервних на
ïðîìiæêó [a; b] числових функцiй ¹ метричним простором з метрикою
ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| .
t [a;b]
Розв'язок. Аксiоми метрики 1) та 2) безпосередньо випливають з означення модуля. Перевiримо справедливiсть аксiоми трикут-
5
íèêà.
Нехай x, y, z C[a;b], тодi для будь-якого t [a; b]
|x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)| .
Çâiäêè
max x(t) |
max z(t) |
− |
y(t) . |
||
|x(t) − y(t)| ≤ t [a;b] |
| |
− z(t)| + t [a;b] |
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
Переходячи до максимуму злiва, ма¹мо
max |x(t) − y(t)| ≤ max |x(t)
t [a;b] |
t [a;b] |
− z(t)| + max |z(t) − y(t)| .
t [a;b]
Остання нерiвнiсть i ¹ нерiвнiстю трикутника.
Приклад 2. Довести, що множина lp (1 ≤ p < ∞) числових послiдовностей x = (x1, x2, ..., xn, ...), äëÿ ÿêèõ ðÿä
∞
X
|xn|p < ∞,
n=1
¹ метричним простором з метрикою
ρ(x, y) = |
( ∞ |
1 |
|xn − yn|p)p . |
||
|
X |
|
n=1
Розв'язок. Аксiоми метрики 1) та 2) для x, y lp
ньо випливають з означення модуля при умовi збiжностей усiх |
|||||||||||||||||||||||
ðÿäiâ. Ðÿäè |
∞ |
x |
|
|
p òà |
|
|
∞ |
|
|
y |
|
|
|
p збiгаються за умовою. До- |
||||||||
ведемо |
|
P |
|
| |
|
| |
|
n |
|
P| − |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
n |
|
∞ |
|
n=1 |
|
| |
|
n |
| |
p. З нерiвностi Мiнковського |
|||||||||||
|
çáiæíiñòü ðÿäó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m NP |
|
=1 |
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при будь-якому |
|
|
|
|
ìà¹ìî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( m |
|
|
|
|
|
1 |
≤ |
( m |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( m |
|
1 |
|||
|
|xn − yn|p)p |
|
|xn|p)p + |
|yn|p)p . |
|||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n∞=1 |xn − yn|p |
з невiд'¹мними |
||||||
Для доведення збiжностi ряду |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
членами нам залиша¹ться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m пряму¹ до |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перейти до границi, коли |
|
||||||||||||
нескiнченностi. Отрима¹мо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( ∞ |
|
|
|
|
|
1 |
≤ |
( ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( ∞ |
|
1 |
|||
|
|xn − yn|p)p |
|
|xn|p)p + |
|yn|p)p . |
|||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
6
Нехай тепер x, y, z lp . З останньо¨ нерiвностi виплива¹
|
ρ(x, y) = |
( ∞ |
|
|
1 |
= |
|
|
||
|
|xn − yn|p)p |
|
|
|||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
= ( ∞ |
|
|
|
|
|
1 |
≤ |
|
|
|
|(xn − zn) + (zn − yn)|p)p |
|
||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
( ∞ |
|
|
1 |
+ |
( ∞ |
|
|
1 |
= |
|xn − zn|p)p |
|zn − yn|p)p |
|||||||||
|
X |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
= ρ(x, z) + ρ(z, y).
Таким чином, аксiома трикутника викону¹ться.
Приклад 3. Доведiть, що простiр lp (1 ≤ p < ∞) ¹ повним та
сепарабельним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Розв'язок. Покажемо, |
ùî |
простiр lp повний. З цi¹ю ме- |
|||||||||||
тою розглянемо фундаментальну послiдовнiсть |
xk |
|
∞ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 елемен- |
|
òiâ xk |
k |
k |
k |
|
|
p. Тодi для будь-якого фiксованого |
||||||||
= (x1 |
, x2 , ..., xn, ...) ç l |
|
|
n |
∞ |
|
|
|
|
|||||
|
числова послiдовнiсть координат |
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
k |
j |
k |
j |
|
|
|
{xk |
}k=1 ¹ фундаментальною |
||||
(äiéñíî, |xn − xn |
| ≤ ρ(x , x |
)). Таким чином, для будь-якого n |
||||||||||||
iсну¹ скiнчениа границя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
lim xk = xn |
(n = 1, 2, ...). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
Нехай x = (x1, x2, ..., xn, ...). Покажемо, що x lp i limk→∞j xk |
= x. |
|||||||||||||
Вiзьмемо довiльне ε > 0. Iсну¹ номер K такий, що ρ(x , x |
) < ε |
äëÿ âñiõ k, j ≥ K. Для будь-якого натурального ν
ν
X
|xkn − xjn|p < εp, k, j ≥ K.
n=1
Для фiксованого k перехiд до границi при j → ∞ äà¹
ν
X
|xkn − xn|p < εp, k ≥ K.
n=1
7
Звiдси, залучивши нерiвнiсть Мiнковського, ма¹мо
|xn|p! |
1 |
|xnk |
|p! |
1 |
≤ |
+ ε |
|||
ν |
p |
∞ |
|
p |
X |
|
X |
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
при будь-якому ν (k фiксовано). Таким чином, x lp. При цьому äëÿ âñiõ k ≥ K
∞ |
|xnk − xn|p! |
1 |
p |
||
ρ(xk, x) = |
≤ ε, |
|
X |
|
|
n=1 |
|
|
тобто limk→∞ xk = x. |
|
|
Розглянемо пiдмножину |
|
|
E = {r = (r1, ..., rn, 0, 0, ...) : rk Q, k = 1, 2, ..n, n = 1, 2, ...}
простору lp. Множина E ¹ зчисленною i всюди щiльною в lp. Òîìó lp сепарабельно.
Приклад 4. Нехай M множина усiх числових послiдовно- ñòåé x = {xn}∞n=1. Покладемо
∞ |
|
|xn − yn| |
|
||||
ρ(x, y) = |
2−n |
. |
|||||
X |
| |
xn |
− |
yn |
| |
||
n=1 |
1 + |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Доведiть, що ρ визнача¹ метрику на M i простiр M ¹ повним
вiдносно цi¹¨ метрики.
Розв'язок. Вiдзначимо, що ряд P∞ 2−n |xn−yn|
n=1 1+|xn−yn| збiга¹ться для будь-яких числових послiдовностей за ознакою порiвняння з рядом P∞ 2−n, тому аксiоми 1) та 2) перевiряються легко.
n=1
Íåðiâíiñòü ρ(x, y) ≥ 0 очевидна. Якщо x = y, òî xn = yn n N,
а тодi ρ(x, y) = 0. Навпаки, рiвнiсть ρ(x, y) = 0 можлива лише у випадку, коли всi доданки в рядi дорiвнюють нулю, а це можливо лише при xn = yn n N. Тобто x = y.
Аксiома 2) очевидна.
Доведемо аксiому 3). З цi¹ю метою розглянемо функцiю
ϕ(λ) = 1 +λ λ, λ ≥ 0.
8
Враховуючи, що ця функцiя зроста¹ при λ ≥ 0, для будь-яких чисел α, β ≥ 0 ìà¹ìî
|
|
|α + β| |
≤ |
|α| + |β| |
≤ |
|
|
|
|
|||
|
|
1 + |α + β| |
|
1 + |α| + |β| |
|
|
|
|
|
|||
|
|α| + |α||β| + |β| |
|α| + 2|α||β| + |β| |
= |
|α| |
+ |
|β| |
. |
|||||
≤ |
1 + |α| + |α||β| + |β| |
≤ 1 + |α| + |α||β| + |β| |
1 + |α| |
|
||||||||
|
|
1 + |β| |
Нехай x = {xn}∞n=1 , y = {yn}∞n=1 , z = {zn}∞n=1 , довiльнi елементи множини M. Покладемо в останнiй нерiвностi
|
α = xn − zn, β = zn − yn (n = 1, 2, ...), |
||||||
i помножимо ¨¨ на 2−n. Äëÿ âñix n = 1, 2, ... будемо мати |
|||||||
2−n |
|xn − yn| |
|
2−n |
|xn − zn| |
+ 2−n |
|zn − yn| |
. |
|
1 + |xn − zn| |
|
|||||
1 + |xn − yn| ≤ |
|
1 + |zn − yn| |
Якщо скласти всi цi нерiвностi, то отрима¹мо нерiвнiсть трикут- |
||||||||||||||
íèêà |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|xn − yn| |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2−n |
| |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
X |
|
|
|
| |
− |
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
1 + xn |
|
≤ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|xn − zn| |
|
|
∞ |
|
|
|zn − yn| |
|
|||||
|
2−n |
| |
+ |
|
2−n |
. |
||||||||
≤ |
X |
| |
− |
zn |
X |
|
| |
− |
yn |
| |
||||
n=1 |
1 + xn |
|
|
n=1 |
|
1 + zn |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдемо до розгляду повноти простору M. Нехай послiдов-
íiñòü {xn}∞n=1 M фундаментальна, тобто ε > 0 n0 òàêå, ùîn, m ≥ n0 викону¹ться нерiвнiсть
|
ρ(xn, xm) = ∞ 2−k |
|xkn − xkm| |
| |
< ε. |
||||||
|
|
X |
| |
|
− |
xm |
|
|||
|
|
1 + xn |
|
|
|
|
||||
|
|
k=1 |
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Îòæå, k |
|
|xkn − xkm| |
|
< 2kε, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
àáî |
1 + |xkn − xkm| |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2kε |
|
|
|
|
|
||
|
|xkn − xkm| < |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
1 − 2kε |
|
|
|
9
Звiдси виплива¹, що для будь-якого k N числова послiдовнiсть {xnk }∞n=1 фундаментальна в R. За критерi¹м Кошi k N iñíó¹
границя lim |
n→∞ |
xn = x0 |
, òîìó x0 = |
{ |
x0 |
|
|
∞ |
|
M. |
|||||
|
k |
k |
|
|
|
|
k |
}k=1 |
|
||||||
Ряд у лiвiй частинi нерiвностi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∞ |
2−k |
|xkn − xkm| |
|
|
< ε |
|
|||||||
|
|
|
|
| |
|
||||||||||
|
|
X |
| |
|
− |
xm |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 + xn |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k=1 |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
завдяки множнику 2−k збiга¹ться рiвномiрно вiдносно m N, тому в цiй нерiвностi можна перейти до границi пiд знаком суми, коли m → ∞ . Ìà¹ìî,
ρ(xn, x0) = |
∞ |
2−k |
|xkn − xk0 | |
|
ε. |
|||||
X |
| |
|||||||||
|
1 + |
| |
xkn |
− |
xk0 |
|
||||
|
k=1 |
|
|
≤ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звiдси виплива¹ збiжнiсть послiдовностi {xn}∞n=1 до елементу x0 у просторi M. Таким чином, M метричнiй простiр, повний вiдносно визначено¨ метрики.
Зауваження. Збiжнiсть в просторi M ¹ покоординатною. Цей простiр сепарабельний. Множина фiнiтних послiдовностей (r1, r2, ..., rn, 0, 0, ...0, ...), äå ri рацiональнi числа, а n äîâiëüíå
натуральне число, всюди щiльна в M.
1.2Вправи
1.Доведiть нерiвнiсть Юнга:
1 |
1 |
≤ |
a |
+ |
b |
|
|
|
ap bq |
|
|
|
, |
|
|||
p |
q |
|
||||||
äå a, b ≥ 0, p, q > 1 i p1 + 1q = 1. |
|
|
|
|
||||
2. Доведiть нерiвнiсть Гьольдера: |
|
|
|
|
||||
akbk ≤ |
|
|
|
|
1 |
|
bkq ! |
1 |
n |
akp! |
|
, |
|||||
n |
|
|
|
p |
|
n |
q |
|
X |
X |
|
|
X |
|
|||
k=1 |
k=1 |
|
|
k=1 |
|
|||
äå ak, bk ≥ 0 äëÿ âñiõ k = 1, 2, ..., n, |
p, q > 1 i p1 + 1q = 1. |
10