Контрольная работа №2. Требования к оформлению контрольных работ
Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номером варианта, который определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента.
При оформлении контрольной работы необходимо учитывать следующие требования:
-
на титульном листе указать номер варианта;
-
контрольные работы оформлять, оставляя поля для замечаний преподавателя;
-
условия задач необходимо записывать полностью. Если задание имеет общую формулировку, его условие необходимо переписать, подставляя числовые значения, соответствующие номеру варианта;
-
решения заданий оформлять аккуратно, приводить достаточное количество пояснений, делать необходимые рисунки.
Контрольную работу необходимо сдать за 10 дней до начала экзаменационной сессии, в противном случае студент не будет допущен к экзамену.
Решение типового варианта.
Задача 1. Найти неопределённые интегралы. В пунктах a) и b) проверить результаты дифференцированием.
1.a.
Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная знаменателя:
Проверим полученный результат:
1.b.
Воспользуемся методом интегрирования по частям, основанном на следующей формуле:
Выполним проверку результата:
1.c.
Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множители: тогда:
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество:
Найдём искомые коэффициенты:
а) полагая , получаем , откуда ;
б) полагая , получаем , откуда ;
в) полагая , получаем , откуда ;
Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:
1.d.
Подынтегральная функция представляет собой интеграл вида:
Где - рациональная функция; - целые положительные числа. С помощью подстановки (здесь - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей ) данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.
Задача 2. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением третьего десятичного знака.
Формула Симпсона или формула парабол имеет вид:
(1)
где .
Рассмотрим
при тогда .
Составим таблицу значений подынтегральной функции, необходимых для вычисления данного интеграла.
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
В последней строке таблицы находятся суммы чисел соответствующих столбцов.
Так как
по формуле (1) находим
Задача 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
a)
b)