Векторная алгебра
.pdfГлава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§1. Векторы, основные определения
Опр. Вектором называется направленный отрезок (отрезок, у которого различают начало и конец).
Если А – начало, В – конец, то вектор обозначают АВ (или AB ).
B
а
A AB
Часто вектор обозначают одной буквой а.
Опр. Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка АВ. Обозначают АВ .
Опр. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуль-вектором и обозначают 0 . 0 0.
Будем рассматривать только свободные векторы, т.е. те, которые можно переносить в любое место пространства, сохраняя длину и направление.
Опр. Векторы a и b , расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.
а |
b |
а |
|
|
b |
Опр. Векторы а и b называются равными, если они:
1)имеют равные модули;
2)коллинеарны;
3)направлены в одну сторону.
Опр. Вектор а называется противоположным вектору а, если этот вектор имеет модуль, равный модулю вектора а, коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону (вектор а – не нульа-вектор).
a
Опр. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
1
§2. Линейные операции над векторами. Линейное пространство
I. Сложение векторов
1) Правило треугольника
Суммой векторов a и b называется вектор c a b , который соединяет начало 1-го вектора с концом 2-го, при условии, что точка приложения 2-го
вектора находится в конце 1-го. Распространяется на любое конечное число |
||
векторов. |
b |
|
b |
a |
|
a |
d a b c |
c |
с a b |
|
|
Частный случай. Сложение коллинеарных векторов.
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||
|
|
b |
|
|||||||||
|
|
|
|
с a b |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
b |
|
|
|||||||
|
|
|
с |
a |
|
|
|
|
|
2) Правило параллелограмма
a a
с a b
О
b b
Отложить от т. О вектор a и b . Построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм. Вектор, служащий диагональю параллелограмма, проведенный из т. О, является суммой a b .
II. Вычитание векторов |
называется вектор c a b , который бу- |
|||
Опр. Разностью двух векторов a и b |
||||
дучи сложенным с вектором b дает вектор a . |
||||
Если c a b, то c b a . |
|
|
|
|
Из определения вытекает правило построения a b . |
||||
a |
|
|
|
|
a |
||||
|
||||
|
|
|
с a b |
|
b |
b |
c a b направлен из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
2
Частный случай. |
a |
|
|
|
a |
|
|
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
b |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- b |
|
|
a |
с a b |
|
с a b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак: |
a b |
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Умножение вектора на число
Опр. Произведением вектора a на число λ называется вектор λa :
1)коллинеарный вектору a ;
2)имеющий длину | a | | | | a |;
3)тоже направление, что и a , если 0 , противоположное направлению a , если 0.
a
|
|
1 a |
2a |
|
2 |
a0 единичный вектор (орт) вектора |
a , |
т.е. a0 коллинеарен a , одинако- |
вого с ним направления, |
| a0 | 1. Тогда |
|
|||||
|
|
|
|
|
a | a | a0 |
(3.1) |
|
|
|
|
|
|
или a0 |
1 |
a . |
|
|
|
|
|
|
| a | |
|
Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются |
|||||||
линейными. |
|
|
|
|
|
|
|
Они обладают свойствами: |
|
|
|||||
1) a b b |
a, |
a, b |
|
|
|
|
|
2) (a b) c a (b c), |
a, b, c |
|
|
||||
3) a 0 a, |
a |
|
|
|
|
|
|
4) a ( a) 0, |
a |
|
|
|
|
|
|
5) ( a) ( )a, |
a, |
, R |
|
|
|||
6) 1 a a, |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
7) |
( )a a a, |
a, , R |
8) |
(a b) a b, |
a, b, R |
Множество векторов пространства, удовлетворяющих свойствам 1–8, образуют линейное (векторное) пространство, которое обозначается R3.
§3. Проекция вектора на ось
|
B |
A |
φ |
A1 |
B1 |
0 x1 |
x2 |
1.Проекция вектора на косинус угла
Пусть даны: l – некоторая ось и AB – произвольный вектор.
A1 |
проекция А на ось l, x1 |
координата A1 на l; |
B1 |
проекция B на ось l, x2 |
координата B1 на l. |
l Опр. Проекцией вектора |
AB на ось называется |
разность x2 x1
прl AB x2 x1 .
Свойства проекций
AB на ось l равна модулю вектора | AB |, умноженному между AB и осью l.
|
|
прl AB | AB | cos , |
где ( AB, l) . |
2.Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
3.При умножении вектора на число проекция на ось также умножается на это число.
a прl ( a) прl a.
4.Проекции двух равных векторов на одну и ту же ось равны.
b прl a прl b .
§4. Линейная зависимость векторов. Базис
Рассмотрим n векторов a1, a2 ,...,an и n чисел 1, 2 ,..., n .
Опр. Выражение вида 1a1 2a2 ... n an называется линейной комбинацией векторов a1, a2 ,...,an .
4
Опр. Векторы a1, a2 ,..., an |
называются линейно зависимыми, если их линейная |
||||||||||||||||
|
комбинация равна нулю 1a1 |
2a2 |
... nan 0 |
при условии, что среди |
|||||||||||||
|
1, 2 ,..., n |
есть отличные от нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Например, |
1 |
0 , тогда 1a1 |
2a2 |
... n an , |
|
|
|
|
|
|||||||
a |
2 a |
2 |
... |
3 |
a |
... n a |
n |
a |
есть линейная комбинация a |
2 |
,...,a |
n |
. |
||||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.
Справедливо и обратно.
Опр. Векторы a1, a2 ,..., an называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю 1a1 2a2 ... nan 0 при условии, что
1 2 ... n 0.
Итак,
|
|
i |
0 |
a1, a2 ,..., an |
линейнозависимые |
||
|
|
|
|
|
|
|
a1 линейнаякомбинация |
1a1 |
2a2 |
... n an 0 |
|
|
|
|
остальныхвекторов, |
|
|
|
|
a |
, a |
,..., a |
|
|
|
0 |
линейнонезависимые. |
||||
|
|
i |
|
1 |
2 |
n |
|
1)Два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.
2)Два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.
Итак, для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинераны.
Теорема. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора a и b , то любой третий вектор c плоскости может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов a и b , т.е.
c 1a 2b . |
(3.2) |
Следствие 1. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы. Следствие 2. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.
с 1a 2b с 1a 2b 0 d ... 0 e линейно зависимые.
Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.
Аналогично Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.
Опр. Базисом на плоскости называется два любых линейно независимых вектора плоскости, т.е. пара неколлинеарных векторов .
5
Базисом в пространстве называется три любых линейно независимых вектора пространства, т.е. тройка некомпланарных векторов.
Рассмотрим разложение (3.2) на плоскости с 1a 2b , где a и b неколлинеарны. Коэффициенты 1 и 2 называются координатами вектора с в
базисе a, b .
Аналогично для разложения (3.3): d 1a 2b 3c , |
где |
a, b, c не- |
||
компланарные векторы пространства. Коэффициенты 1, |
2 , |
3 называются |
||
координатами вектора d в базисе a, b, c. |
|
|
|
a3 (0;0;05) |
Пример 4.1. Доказать, то векторы a1 (2;0;0), |
a2 (0;1;0), |
|
||
образуют базис в R3. |
|
|
|
|
§5. Разложение вектора в декартовом базисе. Операции над векторами, заданными координатами. Длина вектора, направляющие косинусы
I. Прямоугольный декартов базис. Разложение вектора в декартовом базисе
|
z |
|
|
|
|
|
Рассмотрим пространство 0xyz, т.е. |
|||
|
|
M3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
введем |
в пространстве прямоугольную |
||
|
|
|
|
M |
|
|
декартовую систему координат. |
|||
|
|
|
|
|
|
Векторы i , j, k единичные векторы осей |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
k |
j |
|
|
|
Оx, Oy, |
Oz. Векторы |
i , j, k |
называются |
|
|
|
|
ортами. |
Поскольку |
i , j, k |
некомпла- |
|||
|
|
|
M2 |
|
||||||
|
i |
0 |
1 |
|
|
y |
нарны, то они образуют базис в простран- |
|||
|
1 |
|
|
P |
|
|
стве, который называют декартовым ба- |
|||
x |
M1 |
|
|
|
|
зисом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Любой вектор a , |
заданный в пространстве 0xyz, может быть пред- |
|||||||||
ставлен в виде |
|
|
a axi ay j az k . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
Такое представление вектора a называется разложением вектора в декартовом базисе или разложением вектора по ортам.
Проекции называются прямоугольными декартовыми координатами вектора a . Записывают a (ax ;ay ;az ) или a(ax ;ay ;az ) . Каждый вектор имеет
единственное представление в виде (3.4) в заданном базисе.
II. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (за-
данными координатами) |
и b bxi by j bz k . |
Пусть даны два вектора a axi ay j az k |
6
Тогда сумма векторов:
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k .
Разность векторов:
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k .
Произведение вектора на число
a axi ay j az k .
Итак, a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ,a axi ay j az k .
Пример 5.1. a 2i 3 j k ; |
b i 2 j 4k . Найти 2a b. |
III. Модуль вектора
По теореме о длине диагонали параллелепипеда
| OM |2 | OM 1 |2 | OM 2 |2 | OM 3 |2 или | a |2 ax 2 ay 2 az 2 .
| a | ax2 ay2 az 2 модуль вектора a .
IV. Расстояние между двумя точками в пространстве
Рассмотрим вектор AB , где A(x1 , y1, z1 ), B(x2 , y2 , z2 ). |
|
|
|||||||||||||||
ax пр0 x AB x2 |
x1; |
|
ay пр0 y AB y2 y1; az пр0 z AB z2 z1. |
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
(z2 z1 )k разложение AB по |
ортам, |
|||||||||
AB (x2 x1 )i |
|
( y2 y1 ) j |
|||||||||||||||
где A(x1 , y1, z1 ), B(x2 , y2 , z2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Расстояние между точками А и В равно | |
AB | .значит |
|
|
|
|||||||||||||
| AB | |
(x |
2 |
x )2 |
( y |
2 |
y )2 |
(z |
2 |
z )2 |
расстояние |
между |
точками |
|||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(x1 , y1, z1 ), B(x2 , y2 , z2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Частный случай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Расстояние между точками на плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
| AB | |
(x |
2 |
x )2 |
( y |
2 |
y )2 |
, где |
A(x , y ), |
B(x |
2 |
, y |
2 |
). |
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
V. Направляющие косинусы
Направление вектора в пространстве определяется углами , , , кото-
рые вектор составляет с осями Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е. cos , cos , cos называются направляющими косинусами вектора.
По свойству 1 проекций:
7
a |
x |
пр |
0 x |
a |
| a | cos |
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
az |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ay пр0 y a |
| a | cos |
|
cos |
|
|
; |
cos |
|
; |
cos |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
az |
пр0 z a |
| a | cos |
|
|
|
|
| a | |
|
|
|
|
|
| a | |
|
|
|
| a | |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
az |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
; |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
; |
cos |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
ax |
2 ay |
2 az |
2 |
|
ax |
2 ay |
2 |
az |
2 |
ax |
2 ay |
2 |
az |
2 |
|||||||||||||
Тогда cos2 cos2 cos2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
VI. Условие коллинеарности двух векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для того, чтобы два вектора a axi ay j az k |
|
и |
b bxi by j bz k |
были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны
ax ay az условие коллинераности векторов. bx by bz
§6. Скалярное произведение векторов
I.Определение
Опр. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
a b | a | | b | cos(a b) .
Придадим (3.5) другой вид (по свойству 1 проекций).
| b | cos(a b) прab проекция b на ось, определяемую a .
| a | cos(a b) проекция a на ось, определяемую b . a b | a | прab | b | прb a.
II.Свойства скалярного произведения
1.Переместительное свойство a b b a. Доказательство из определения.
2. Сочетательное свойство относительно скалярного
( a) b a ( b) (a b) .
3. Распределительное свойство (a b) c a c b c.
(3.5)
(3.6)
множителя
8
|
|
|
2 |
|
|
Пример 6.1. Векторы |
a |
и b образуют угол |
3 |
. Зная, что | a | 10, |
| b | 2 |
вычислить (a 2b)(3a |
b). |
|
|
|
4. Условие ортогональности векторов
По определению a b | a | | b | cos(a b) . a b 0 , если a 0 или b 0 , или
cos(a b) 0, т.е. |
a b. Пусть |
a и b – ненулевые векторы. Тогда |
a b 0 a b . |
|
|
Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо |
|
и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. |
|
a b |
a b 0. |
Пример 6.2. При каком векторы a b и a b ортогональны, если |
||
| b | 5? Ответ: 3. |
|
|
5 |
|
|
III. Скалярное произведение векторов, заданных координатами |
||
Даны два вектора a axi |
ay j az k и |
b bxi by j bz k . Найти a |
Найдем предварительно скалярное произведение ортов. |
||
i i | i | | i | cos 0 1; |
j j 1; |
k k 1; |
| a | 3,
b.
i j | i | | j | cos 0; |
i k 0; |
j k 0. |
2 |
|
|
Тогда |
|
|
a b (axi ay j az k )(bxi by j bz k ) axbxi i aybx j i azbx k i axby i j |
||
azby k j axbz i k aybz j k azbz k k axbx ayby azbz . |
||
a b axbx ayby azbz скалярное произведение векторов, заданных коор- |
||
динатами. |
|
|
Если a b, то axbx ayby |
azbz 0 условие перпендикулярности векторов. |
IV. Угол между векторами в пространстве
По определению a b | a | | b | cos(a b) , значит cos(a b) | aa| |bb | .
Пример 6.3. Даны вершины четырехугольника А(1, -2, 2), В(1, 4, 0), С(-4, 1, 1), D(-5, -5, 3). Вычислить угол между его диагоналями. Ответ: 90о.
9
§7. Векторное произведение векторов
I. Определение
Опр. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с , который определяется следующим образом:
1) модуль вектора с численно равен площади параллелограмма, построенного
на векторах a и b как на сторонах
| с | | a | | b | sin(a b);
2)вектор c перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. c a , c b;
3)направление вектора с таково, что если смотреть с его конца (вдоль векто-
ра), то поворот по кратчайшему пути от вектора a к вектору b виден совершающимся против часовой стрелки.
,b,c ориентированы как i , j, k прав. тройка).
Обозначается: Част- c
b
a
c a b или [a,b].
ные случаи: i
i
j k , j k i , k i j
k
j
II.Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак a b b a .
Доказательство. c1 a b ; c2 |
b a |
|
|
1) |
| c1 | | c2 | т.к. равныSпараллелограмма |
a b b a |
|
2) |
c1 ,c2 a иb |
с1 с2 или |
|
3) |
c1 || c2 , нопротивоположнонаправлены |
|
2. ( a) b a ( b) (a b) сочетательное свойство относительно скалярного множителя, т.е. числовой множитель можно выносить за знак век-
произведения.
3.(a b) c a c b c распределительное свойство.
4.Условие коллинеарности векторов.торного
10