![](/user_photo/_userpic.png)
1.2 Момент инерции
Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
.
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:
,
где
интегрирование производится по всему
объёму тела. Величина
в этом случае есть функция положения
точки с координатамиx,
y,
z.
Если
известен момент инерции тела относительно
оси, проходящей через его центр масс,
то момент инерции относительно любой
другой параллельной оси определяется
теоремой
Штейнера:
момент инерции тела I
относительно
любой оси
вращения равен моменту его инерции
относительно параллельной оси, проходящей
через центр массC
тела,
сложенному с произведением массы m
тела на квадрат расстояния d
между осями:
.
В таблице 1.2.1 приведены значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).
Тело |
Положение оси вращения |
Момент инерции |
Полый тонкостенный цилиндр, обруч радиусом R |
Ось симметрии |
|
Сплошной цилиндр (диск) радиусом R |
Ось симметрии |
|
Прямой
тонкий стержень длиной
|
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину |
|
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец |
| |
Шар радиусом R
|
Ось проходит через центр шара |
|
Таблица 1.2.1
Если тело имеет сложную форму, и теоретически определить момент инерции его сложно, прибегают к экспериментальным методам определения момента инерции.
1.3 Кинетическая энергия вращения
Рис.
1.3.1
,
,...,
,
находящиеся на расстоянии
,
,...,
от оси вращения. При вращении твёрдого
тела относительно неподвижной оси
отдельные его элементарные объёмы
массами
опишут окружности различных радиусов
и имеют различные линейные скорости
.
Но так как мы рассматриваем абсолютно
твёрдое тело, то угловая скорость
вращения этих объёмов одинакова:
(1.3.1)
Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:
.
Используя выражение (1.3.1), получим:
Рис.
1.3.1
, (1.3.2)
где
– момент инерции тела относительно осиz.
Из
сравнения формулы (1.3.2) с выражением для
кинетической энергии тела, движущегося
поступательно
,
следует, что момент инерцииI
вращательного движения – мера
инертности тела
во вращательном движении, т.е. является
вращательным аналогом массы.
В случае, когда тело совершает одновременно поступательное и вращательное движение (например, шар катится по плоскости), его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений: