Lection16
.docxЛекция 16. «Неопределенный интеграл»
#1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение 1.1. Функция называется первообразной от функции на отрезке , если для каждой точки отрезка выполняется равенство
т.е. производная от первообразной функции равна самой функции.
Пример. Найти первообразную от функции .
Из определения первообразной следует, что искомой является функция . Это легко проверить, вычислив производную функции :
Заметим, что функции или тоже являются первообразными функции . Все дело в том, что производная постоянной величины равна 0.
Очевиден (не требует доказательства) следующий факт. Если функция является первообразной от функции , то функция , тоже является первообразной функции
Не очевидно, но имеет место следующее утверждение.
Теорема. Если и — две первообразные от функции на отрезке , то разность между ними равна постоянному числу:
Определение 1.2. Если функция является первообразной от функции , то выражение называется неопределенным интегралом от функции .
Таким образом, неопределенный интеграл это не одна, а целое семейство функций отличающихся между собой на постоянную величину. Если построить графики этих функций, то мы получим набор кривых сдвинутых по отношению друг к другу вдоль оси .
Замечание. Не всякая функция имеет первообразную, но если функция непрерывна на отрезке , то она имеет первообразную и неопределенный интеграл.
Определение 1.2. Интегрированием называется нахождение интеграла для данной функции.
Из определения неопределенного интеграла следуют следующие очевидные свойства неопределенных интегралов.
-
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если , то
-
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Напомним, что дифференциал функции вычисляется по формуле:
или
-
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
#2. Таблица интегралов.
Приведем таблицу интегралов от простейших функций.
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
Проверим правильность некоторых интегралов. Для этого найдем производные правых частей у некоторых формул. При вычислении производных во всех формулах будем использовать то, что производная константы равна нулю: .
16.
#3. Свойства неопределенных интегралов.
Приведем несколько свойств неопределенных интегралов.
Теорема 3.1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:
Истинность этого утверждения очевидна. Производная суммы двух функция равна сумме производных, а операция интегрирования противоположна операции дифференцирования.
Пример. Вычислить интеграл.
Теорема 3.2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е., если , то:
Истинность этого утверждения также очевидна. Константу можно выносить за знак производной, а операция интегрирования противоположна операции дифференцирования.
Пример. Вычислить интеграл.
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила. Если
то:
Пример. Вычислить интеграл.
(используем правило №1)
Пример. Вычислить интеграл.
(используем правило №2)
Пример. Вычислить интеграл.
(используем правило №3)
#4. Примеры вычислений интегралов.
Вычислим несколько интегралов на применение этих правил и таблицы производных
Пример. Вычислить интеграл.
Пример. Вычислить интеграл.
Пример. Вычислить интеграл.
Пример. Вычислить интеграл.