- •Линейная и векторная алгебра
- •Общие методические указания
- •Операции над матрицами.
- •Определители матриц второго и третьего порядка.
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Построение общего решения методом Гаусса:
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3.
- •Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •4 Прямая на плоскости
- •Плоскость.
- •Прямая и плоскость в пространстве.
- •Задание 4.
- •Задание 7.
- •Задание 8
- •Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный аграрный университет
имени Н. И. Вавилова»
Линейная и векторная алгебра
Методические указания и задания
для выполнения типового расчета
по курсу «Математика»
Направление подготовки
260100.62 Продукты питания из растительного сырья
Саратов 2013
Линейная и векторная алгебра: метод. указания и задания для выполнения типового расчета по курсу «Математика» для направления подготовки 260100.62 Продукты питания из растительного сырья, 221400.62 Управление качеством / сост. Н.В. Дьяконова //ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ».- Саратов, 2013.-
Методические указания и задания для выполнения типового расчета по дисциплине «Математика» составлены в соответствии с программой и предназначены для студентов направления подготовки 260100.62 Продукты питания из растительного сырья, 221400.62 Управление качеством. Они содержат рекомендации, примеры и задания к выполнению типового расчета. Позволяют студентам освоить основные математические методы, необходимые для анализа процессов и явлений в ходе поиска оптимальных решений практических задач, обучает методам обработки и анализа результатов эксперимента. Курс нацелен на формирование ключевых компетенций, необходимых для эффективного решения профессиональных задач и организации профессиональной деятельности.
Общие методические указания
Работа выполняется на листах формата А4 (210х297), которые затем скрепляются.
Решение заданий следует сопровождать краткими пояснениями.
Исходные данные для заданий типового расчета представлены в таблицах. Из таблицы каждый студент выбирает строки с номерами вариант, которые соответствуют номеру в списке группового журнала.
Матрицы и определители.
Определение 1.1. Прямоугольная таблица чисел вида
называется прямоугольной матрицей размера , где- количество строк, а- количество столбцов.
Определение 1.2. Квадратной матрицей -го порядка называется матрица размера .
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичной матрицей (Е) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Операции над матрицами.
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера называется матрица C=(cij) того же размера, причем cij=aij+bij,
Для любых матриц A,B,C одного размера выполняются равенства:
A+B=B+A (коммутативность);
(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C (ассоциативность)
Произведением матрицы A=(aij) на число называется матрицаB=(bij) того же размера, что и матрица А, причем bij=aij ,
Пример №1. Выполнить действия:
Определение 1.3. Выберем в матрице размерапроизвольныестрок истолбцов,. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют квадратную матрицу-го порядка, определитель которой называют минором-го порядка матрицы. Элементы матрицы являются минорами первого порядка.
Если в матрице имеется минор-го порядка, не равный нулю, а все ее миноры-го порядка, окаймляющие этот минор, равны нулю, то ранг матрицы равен.
Определение 1.4. Матрица называется обратной для квадратной матрицы, если
Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Квадратная матрица , определитель которой отличен от нуля имеет единственную обратную матрицу, где- определитель матрицы;
- алгебраическое дополнение элемента матрицы.
Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называются следующие преобразования:
а) умножение й строки матрицы на число;
б) прибавление к й строке (столбцу)й строки (столбца), умноженной на число;
в) перестановка й ий строк (столбцов) матрицы.
Алгоритм построения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы:
К данной матрицеприписать справа единичную матрицу
С помощью элементарных преобразований объединенной матрицы привести матрицу к единичной матрице
Матрица имеет вид:
Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений: . Решением этих уравнений являются соответственно матрицы. В этих уравнениях– матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров.
Пример №2. Вычислить:
Решение:
При вычислении произведения матриц, всегда надо помнить, что произведение существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В нашем случае матрица А имеет размерность, матрица В -; число столбцов матрицы А равно 2, число строк матрицы В равно 2. Размерность матрицы произведения будет.
Пример №3. Выполнить действия:
Решение:
Пример №4. Вычислить ранг матрицы
Решение:
Найдём ранг матрицы методом элементарных преобразований. Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, количество нулевых строк полученной ступенчатой матрицы - искомый ранг матрицы. Приведём матрицу к ступенчатому виду:
Полученная ступенчатая матрица содержит одну не нулевую строку, значит её ранг равен единице.
Пример №5. Найти обратную матрицу к матрице
Решение:
Найдем обратную матрицу к данной, методом присоединенной матрицы.
1) Найдем не равен 0.
Матрица существует, еслине равен 0.
2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы :
3) Запишем присоединённую матрицу:
4) Найдём обратную матрицу
Сделаем проверку:
В результате произведения получили единичную матрицу, следовательно
Обратная матрица к матрице .
Пример №6. Решить матричное уравнение:
Решение:
1)Найдем detA:
Так как detA0, то матрица существует.
2) Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :
3) Запишем матрицу
4)Найдем матрицу :
Проверка:
Следовательно:
Проверка:
Задания:
Найти сумму матриц ,
Даны матрицы и . Найти матрицу.
Найти произведение матриц, если оно существует:
а) ;
б)
в)
4. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.
5. Найти матрицу, обратную к матрице
6. Найти ранг матрицы