Лекция3
.pdfЛЕКЦИЯ 3
Численное интегрирование Численное дифференцирование
Численное интегрирование
Дано: таблица значений функции
|
x |
x0 |
x1 |
|
|
x2 |
|
.. |
|
xN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
f0 |
f1 |
|
|
f2 |
|
.. |
|
fN |
a x i b, i=0, 1,..., N; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: |
|
|
b |
x dx |
|
|
|||||
|
|
|
I |
f |
|
|
a
Геометрический смысл определенного интеграла
y |
y= f(x) |
|
a |
b |
x |
1. Формулы прямоугольников
1.На каждом участке подинтегральную функцию заменяем константой
2.Площадь криволинейной области заменяется на сумму площадей прямоугольников
|
fi-1 |
|
|
f1 |
|
f0 |
|
|
x0 x1 |
xi-1 xi |
x |
|
|
N |
А. Формула левых прямоугольников
I (x1 x0 ) f 0 (x2 x1 ) f 1 .. (xN xN 1 ) f N 1
N |
|
|
|
fi 1 (xi xi 1 ) |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
Если расстояние между |
|
N |
N 1 |
|
I h fi 1 |
h fi |
|
узлами равное: h xi |
xi 1 |
||
|
|
i 1 |
i 0 |
1. Формулы прямоугольников
В. Формула правых прямоугольников
|
fi |
x0 |
xi-1 xi |
I (x1 x0 ) f 1 (x2 x1 ) f 2 .. (xN xN 1 ) f N |
N |
|
|
fi (xi xi 1 ) |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
N |
Если расстояние между |
|
I h fi |
узлами равное: h xi |
xi1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
1. Формулы прямоугольников |
||||
С. Формула средних прямоугольников |
||||
|
|
fi-1/2 |
|
|
x0 |
|
xi-1 xi |
|
|
I (x1 x0 ) f 1/ 2 (x2 x1 ) f3/ 2 .. (xN xN 1 ) f N 1/ 2 |
||||
N |
|
|
|
|
fi 1/ 2 (xi xi 1 ), |
г де fi 1/ 2 f (xi h / 2) |
|||
i 1 |
|
|
|
|
Если расстояние между |
N |
|||
I h f (xi 1/ 2 ) |
||||
узлами равное: |
h |
xi xi1 |
||
|
|
|
i 1 |
Решение в MathCAD
g(x) sin(x) |
a 0 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) dx cos (x) |
|
|
I cos (b) cos (a) 1 |
|
g(x) dx 1 |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lev_pryam(a b N g) |
|
h |
|
(b a) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for |
i 0 N |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xi a h i |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
f |
i |
g x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
S 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
for |
i 1 N |
|
|
|
||||
|
|
|
|
S S fi |
|
|
||||||
|
|
|
|
S S h |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lev_pryam(a b 10 g) I 0.076 |
lev_pryam(a b 20 g) I 0.039 |
||||||||||
|
lev_pryam(a b 40 g) I 0.02 |
|
|
|
|
|
2. Формула трапеций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. На каждом участке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
подинтегральную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
заменяем прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Площадь криволинейной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
i-1 |
x |
i |
xi+1 |
xN |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
области заменяется на сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
площадей трапеций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I |
( f 0 f1 ) |
(x x ) |
( f 1 f2 ) |
|
(x |
|
x ) .. |
( f N 1 fN ) |
(x |
|
|
x |
N 1 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если расстояние между узлами равное, |
|
|
|
|
h xi |
xi 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I |
h |
( f |
|
f f f |
|
f |
|
|
f |
|
|
.. f |
|
|
|
f |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
2 |
2 |
3 |
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h |
( f |
|
|
2 f 2 f |
|
2 f |
|
|
.. 2 f |
|
|
|
f |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
2 |
3 |
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
0 fn |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h( |
|
fi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1
Вычислить интеграл от таблично заданной функции с помощью метода трапеций
x |
0 |
0.2 |
0.3 |
0.5 |
0.7 |
0.9 |
1 |
f |
0.3 |
0.7 |
0.5 |
0.6 |
0.4 |
0.2 |
0 |
Шаг непостоянный, поэтому необходимо рассчитать площади трапеций на каждом локальном интервале, а затем сложить их.
|
0.3 0.7 |
0.2 |
0.7 0.5 |
0.1 |
0.5 |
0.6 |
0.2 |
|||||
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0.6 0.4 |
0.2 |
|
0.4 0.2 |
0.2 |
|
0.2 0 |
0.1 |
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.44
Решение в MathCAD
trap (a b N g) |
h |
|
(b a) |
|
|
|
|
N |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
for |
i 0 N |
|
|||
|
|
xi a h i |
||||
|
|
|||||
|
|
f |
i |
g x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
i |
S f0 fN 2
for i 1 N 1 S S fi
S S h S
trap (a b 10 g) I 2.057 |
3 |
trap (a b 20 g) I 5.141 |
10 4 |
10 |
|
|
trap (a b 40 g) I 1.285 10 4
3. Формула Симпсона (парабол)
На каждом участке |
|
|
|
|
|
|
|
Если N - четное, h=xi-xi-1, то |
|
|
|
||||||||||||||||||||
подинтегральную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
xi 1 |
f x |
dx |
h |
fi 1 4 fi fi 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
заменяем полиномом второй |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
степени (параболой) |
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
4 f |
|
f |
|
|
f |
|
4 f |
|
f |
|
... f |
|
|
4 f |
|
f |
|
|
|
||||||||
3 |
|
0 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
N 2 |
N 1 |
N |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N / 2 |
|
|
|
|
||
|
h |
f |
|
|
4 f |
|
|
2 f |
|
4 f |
|
...4 f |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
N 1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|