- •В.П. Некрасов
- •Введение 4
- •1.1. Множества и векторы 6
- •1.2. Отношения 7
- •6.2. Критерий Вальда 34
- •1. Необходимые сведения из дискретной математики и теории измерений
- •1.1. Множества и векторы
- •1.2. Отношения
- •Определение бинарного отношения
- •Свойства отношений
- •1.3. Шкалы измерений
- •2. Системный подход к принятию решений
- •3. Математическая модель принятия решения Математическая модель (мм) принятия решения является формализацией системного похода к зпр.
- •Введем следующие понятия:
- •Содержательная интерпретация зпр
- •4. Многокритериальная оптимизация в условиях определённости
- •4.1. Отношение доминирования по Парето
- •4.2. Проблема оптимальности для многокритериальных зпр
- •4.3. Выбор альтернатив в парето-оптимальном множестве
- •4.3.1. Указание нижних границ критериев
- •4.3.2. Субоптимизация
- •4.3.3. Лексикографическая оптимизация
- •3.3.4. Линейная свёртка
- •4.4. Выбор претендента на вакантную должность
- •5. Метод анализа иерархий т. Саати
- •6. Принятие решений в условиях неопределённости
- •6.1.Критерий Лапласа
- •6.2. Критерий Вальда
- •6.3. Критерий Гурвица
- •6.4. Критерий Сэвиджа
- •6.5. Выбор товара для производства
- •Критерий Сэвиджа
- •7. Принятие решений в условиях риска
- •7.1. Построение обобщённого критерия
- •7.2. Выбор варианта производимого товара
- •Литература
1.2. Отношения
Пусть даны два множества – X = {x1, x2, ... , xk, ... ,xn} и
Y = {x1, x2, ... ,xk}.
Самое простое, что можно сказать об элементах этих множеств, — это установить связи между конкретным элементом и конкретным множеством, между двумя данными элементами или множествами.
Мы говорим:
а) элемент x2 принадлежит множеству X, x2 X;
б) элемент x2 принадлежит множеству Y, x2 Y;
в) множество Y является составной частью множества X, Y X, поскольку элементы множества Y и первые k элементов множества X совпадают.
Говорят, что элементы множества могут находиться в некоторых отношениях R между собой, с элементами других множеств или с самими множествами.
В вышеприведенных примерах в первых двух случаях на множествах X и Y задано отношение принадлежности: R = « ».
В последнем примере имеет место отношение включения: R = « ».
Пусть X является множеством целых чисел: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Элементы множества X могут находиться в отношениях: R = « > » — «больше», R = « < » — «меньше», R = « » — «больше или равно», R = « » — «меньше или равно», R = « » — «равно» и R = « » — «не равно».
Другие примеры отношений: «быть братом», «жить в одном доме», «иметь общий делитель, отличный от единицы».
Отношения между парами объектов называют бинарными (двухместными). Они встречаются наиболее часто и хорошо изучены.
В общем виде бинарное отношение может быть записано как xRy, где R – отношение, устанавливающее связь между элементом x X и элементом у Y.
Определение бинарного отношения
Бинарное отношение R — это подмножество декартова произведения множеств X X, R X X, то есть это множество всевозможных пар (x,x) между элементами множества X.
Пример. X = {x1, x2, x3} = {1, 2, 3}
X X = {1, 2, 3} {1, 2, 3} = {(x1, x1), (x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x2, x2), (x2, x3), (x3, x1), (x3, x2), (x3, x3)} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
Отношение R = « » имеет следующий вид:
R = {(x1, x1), (x1, x2), (x1, x3), (x2, x2), (x2, x3), (x3, x3)} = {(1, 1), (1, 2),
(1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
Для отношения R = « = » получим:
R = {(x1, x1), (x2, x2), (x3, x3)} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Часто для задания отношений используют матричный способ.
Матрица бинарного отношения R на множестве X, X = n – это квадратная матрица C порядка n, в которой элемент cij, стоящий на пересечении
i – й строки и j – го столбца, определяется следующим образом:
1, если i R j
Cij =
0, в противном случае
Пример 1. Дано множество X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, на котором задано отношение R = « ».
Для всех x, y X, для которых выполняется x y, матрица C имеет следующий вид:
C
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Пример 2. Для отношения R на множестве X: R = «x и y являются чётными числами», x X, y X, матрица C будет иметь следующий вид:
C
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |