- •Параметрическая версия мнк-оптимизации и оценки точности данных (Параметрический способ уравнивания)
- •Нахождение наиболее достоверных значений измеренных величин и параметров (Уравнивание).
- •Статистические свойства векторов-оценивателей алгоритма параметрической версии
- •Статистические свойства векторов-оценивателей параметрической версии мнк-оптимизации
- •Оценка точности измерений
- •Оценка точности уравненных параметров и функций от них
- •Ковариации a posteriori 9.Ковариации a posteriori
Параметрическая версия мнк-оптимизации и оценки точности данных (Параметрический способ уравнивания)
Процесс математической обработки результатов измерений в ГП на основе параметрической версии отличается от вышеизложенной коррелатной версии тем, что каждая измеряемая величина Yi представляется в виде явной функции Fi от вектора линейно независимых параметров Xk1, каковыми могут быть как некоторые измерявшиеся величины, так и другие параметры построения, например, координаты определяемых ГТ сети. При этом возникают те же три задачи, расширенные появлением дополнительных неизвестных – параметров. Первая – это нахождение НДЗ измеренных величин и параметров, вторая – оценка точности измерений и третья – оценка точности НДЗ измеренных величин и параметров, а так же функций от параметров.
Первая задача традиционно называется уравниванием измерений или, с учётом того, что «уравнивание» выполняется под условием минимума суммы квадратов уклонений результатов измерений от некоторых оптимальных значений, – МНК-оптимизацией.
Постановка задачи
Имеем «n» измеренных величин y1, y2, … , yn, вектор реальных значений которых выглядит следующим образом Y1nT = (Y1,…,Yn). Они образуют некоторую систему и связаны между собой посредством линейно независимых параметров X1kT = (X1,…,Xk). Такая система представляет собой математическую модель ГП и называется системой параметрических уравнений связи (ПУС):
Yn1 = Fn1(XT1k; ZT1q), (П.1)
где «k» – число линейно независимых параметров, равное числу необходимых измерений, определяемому целью создания ГП.
Результаты измерений yi (i = 1, 2, …, n), как это было и в коррелатной версии, характеризуются некоторой ковариационной матрицей
, (К.6)
у которой диагональные элементы представляют собой оценки дисперсий (квадраты СКО) каждой величины, которые находятся следующим образом:
= = (К.7)
Здесь – среднее арифметическое i – ого измерения, равное
= (К.8)
Корреляционные моменты (ковариации) Kij могут быть оценены по формуле
(K.9)
По-прежнему, предполагается, что:
1) результаты измерений yi необходимо отягощены только случайными ошибками и представляют собой элементы спектров соответствующих СВ Yi, т.е. yi Yi. Тот факт, что измерения свободны от постоянных систематических ошибок, моделируется условием совпадения математического ожидания СВ Yi и реального значения Yi измерявшейся величины:
E(Yi) = Yi ; (K.10)
2) координаты опорных точек zq1 = Zq1 рассматриваются как безошибочные константы;
3) приближённые значения параметров x1, x2, … , xk трактуются как неслучайные величины, на которые не действует оператор математического ожидания, т.е.
E(xj) = xj ; (П.2)
4) обратная ковариационная матрица таких параметров тождественно равна нулевой матрице:
. (П.3)
Резюмируя сказанное, сконцентрируем имеющуюся информацию.
Дано:
Проект ГП.
Схема, чертёж высотной или плановой геодезической сети.
Математическая модель ГП.
Yn1 = Fn1(XT1k; ZT1q) – ПУС, где Yi и Zt – реальные значения измеряемых величин и исходных данных, Xj реальные значения параметров;
i = 1, 2, …, n; t = 1, 2, …, q; j = 1, 2, …, k.
Числовые данные.
yT1n = (y1, y2, … yn) – вектор результатов измерений;
xT1k = (x1, x2, … xk) – вектор приближённых значений параметров;
zT1q = (z1, z2, … zt) – вектор координат опорных пунктов;
–ковариационная матрица измерений (стохастическое расширение математической модели).
Теоретические посылки.
Y1nT=(Y1, Y2, … Yn) – вектор СВ Yi, являющихся вероятностными моделями измерений;
E(Yn1) = Yn1 – условие отсутствия постоянных систематических ошибок в измерениях;
E(xj) = xj и – неслучайность приближённых значений параметров;
–априорное значение масштабного показателя точности измерений.
Найти:
1) НДЗ (уравненные значения) измеренных величин Ỹn1= и параметров ;
2) апостериорное значение показателя точности измерений – ;
3) апостериорные ковариационные матрицы НДЗ , и функций от НДЗ параметров : , и .
Решение.