- •1. Числовые ряды
- •Понятие числового ряда
- •1.2. Ряды с положительными членами
- •1.3. Признак Даламбера
- •1.4. Интегральный признак Коши сходимости ряда
- •1.5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда
- •2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда
- •3. Ряды Фурье
- •3.1. Периодические функции
- •3.2. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье
- •3.3. Сходимость ряда Фурье
- •3.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l
- •Разложение в ряд Фурье непериодических функций
- •Библиографический список
1. Числовые ряды
Понятие числового ряда
Даны члены числовой последовательности u1, u2, …, un, … . Выражение u1+u2+…+un+… называется числовым рядом. Числа u1, u2, …, un, … называются членами ряда. un – общий член ряда. Сокращенно ряд записывают .
Запишем суммы S1 = u1, S2 = u1+u2, S3 = u1+u2+u3, … , Sn = u1+u2+…+un, … Их называют частными или частичными суммами ряда. Частные суммы образуют бесконечную числовую последовательность S1, S2, S3, …, Sn, … .
Если существует конечный предел последовательности частных сумм , то ряд называютсходящимся. Число S называют суммой ряда и записывают .
Если предел последовательности частных сумм не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Пример1.
Задан ряд:
Запишем частную сумму ряда:
Члены ряда представим следующим образом:
Ряд сходится, и его сумма равна 1.
Пример 2.
Ряд называется рядом геометрической прогрессии со знаменателемq. Этот ряд сходится только при |q| < 1 и его сумма равна .
Пример 3.
Ряд называется гармоническим. Он является расходящимся.
1.2. Ряды с положительными членами
Ряд u1 + u2 + … + un + … называется рядом с положительными членами, если при всех значениях n выполняется неравенство un > 0.
Пусть даны два ряда с положительными членами
, (1)
. (2)
Если при всех значениях n выполняется неравенство , то ряд (2) называетсямажорантным по отношению к ряду (1), а ряд (1) называется минорантным (т. е. рядом с меньшими членами).
Теорема (признак сравнения). Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Пример 1.
Исследовать сходимость ряда: .
Данный ряд можно сравнить с гармоническим рядом , т. к.. Гармонический ряд расходится, значит, данный ряд расходится.
Пример 2.
Исследовать сходимость ряда: .
Члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда
, т. к. . Рядявляется рядом геометрической прогрессии со знаменателем<1. Такой ряд сходится, следовательно, рядсходится.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда: .
Члены данного ряда не меньше соответствующих членов гармонического ряда , т. к.. Гармонический ряд расходится, значит, по признаку сравнения рядов данный ряд расходится.
1.3. Признак Даламбера
Дан ряд с положительными членами u1 + u2 + … + un + … .
Пусть .
Если l < 1, то ряд сходится.
Если l > 1, то ряд расходится.
Если l = 1, то признак вопроса не решает.
Пример 1.
Исследовать сходимость ряда: ,,.
<1. Ряд сходится.
Пример 2.
Исследовать сходимость ряда: ,,.
. Ряд расходится.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда: ,,.
Ряд сходится.
Пример 4.
Исследовать сходимость ряда: ,,.
Ряд сходится.
1.4. Интегральный признак Коши сходимости ряда
Дан ряд с положительными членами u1+u2+…+un+… , члены которого монотонно убывают, т.е. un+1 < un.
Составим непрерывную невозрастающую положительную функцию f(x), заданную на такую, что приx = 1,2,3,…,n,… значение функции равно соответствующему члену ряда. Функция f(x) называется производящей функцией данного ряда.
Теорема. Если члены данного ряда монотонно убывают (un+1 < 0 un , n = 1,2, 3, …) и если функция y = f(x) при непрерывна, положительна и монотонно убывает, иf(n)=un, тогда
если сходится, то сходится и данный ряд;
если расходится, то расходится и данный ряд.
Пример 1.
Исследовать на сходимость ряд: .
Составим производящую функцию ряда . Вычислим несобственный интеграл этой функции:
.
Несобственный интеграл сходится, сходится и данный ряд.
Пример 2.
Исследовать сходимость числового ряда: .
Составим производящую функцию ряда . Вычислим:
Несобственный интеграл сходится, сходится и данный ряд.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда: .
Составим производящую функцию ряда . Вычислим:
Несобственный интеграл расходится, расходится и данный ряд.