- •Нормальное распределение
- •210100 Электроника и наноэлектроника
- •Теоретические сведения
- •Основные термины и определения
- •Понятия о законах распределения одномерных случайных величин
- •Построение гистограммы распределения случайной величины
- •Параметры нормального распределения
- •Проверка гипотезы о согласовании выборочного эмпирического распределения с гипотетически нормальным распределением
- •Практические упражнения
-
Понятия о законах распределения одномерных случайных величин
Вид (закон) распределения случайной величины устанавливает связь между возможными значениями xk этой случайной величины и соответствующими вероятностями (или плотностями вероятностей ) появления данной случайной величины x в её генеральной совокупности. Закон распределения может быть задан различными способами: в виде аналитического выражения, графически, либо в виде таблицы. Форма распределения случайной величины определяется её природой.
Используют две основные формы выражения закона распределения случайной величины: интегральную и дифференциальную.
Интегральная функция распределения , пример которой приведён на рисунке 1, для генеральной совокупности или её оценка для выборки показывают, какая доля статистической совокупности лежит левее данного конкретного значения xj случайной величины x на её числовой оси, т.е. при x < xj. Или для примера рисунка 1 – вероятность того, что случайная величина x примет значение меньше xj.
Для непрерывной случайной величины справедливо
-
F(x) ≥ 0, при x R.
-
F(xl) ≤ F(xj), при l < j.
-
.
-
.
Из определения интегральной функции распределения следует, что вероятность P{xj < x < xl} попадания случайной величины x в интервал (xj; xl) может быть определена как
55\* MERGEFORMAT ()
Рисунок 1 – Пример интегральной функции плотности распределения вероятности
Дифференциальная функция распределения (функция плотности распределения вероятности) (x) есть производная от интегральной функции распределения F(x)
66\* MERGEFORMAT ()
Пример функции плотности распределения вероятности для графика рисунка 1 представлен на рисунке 2.
Перечислим основные свойства данной функции:
-
(x) ≥ 0, при x R.
-
.
-
.
Рисунок 2 – Пример дифференциальной функции плотности распределения вероятности
Учитывая (5) и (6) можно записать
. 77\* MERGEFORMAT ()
Интервальный ряд распределения – это табличная (или графическая) форма выражения закона распределения, т.е. таблица (или график), где перечислены все k-е интервалы (k = 1, 2, … , K), охватывающие возможные(полученные) значения случайной переменной x, указаны границы этих интервалов и приведены вероятности pk (или плотности вероятностей ) появления x в соответствующих интервалах. При изучении распределения вместо вероятностей pk указывают их оценки: или . Другое название интервального ряда – гистограмма.
-
Построение гистограммы распределения случайной величины
Рекомендуется следующий порядок построения интервального ряда распределения:
-
По данным выборки объёмом N элементов вычисляют среднее значение случайной переменой x:
. 88\* MERGEFORMAT ()
-
Из элементов выборки находят минимальное xmin и максимальное xmax значения случайной величины x.
-
Оценивают число К интервалов (квантов), на которые надо разделить весь диапазон изменения случайной величины x:
. 99\* MERGEFORMAT ()
-
Оценивают ширину x интервалов:
1010\* MERGEFORMAT ()
Полученную величину допустимо округлить до удобного значения.
-
На числовой оси x от величины до величин xmax и xmin строят интервалы шириной δx, как показано на рисунке 3. Полученное количество интервалов К вследствие выполненных округлений может не совпадать с расчётным.
Рисунок 3 – Построение интервалов по числовой оси случайной величины x
-
Полученные числовые значения границ интервалов (xk-1; xk) заносят в таблицу и подсчитывают число Nk элементов, попавших в каждый k-ый интервал. Элементы, попавшие строго на границу делят пополам между интервалами, разделёнными границей. Если число таких элементов нечётное, то один элемент присваивают интервалу, находящемуся ближе к среднему значению случайной величины, а остальные – поровну между интервалами, разделёнными границей. Также возможно принять одну из границ (например, левую) всех интервалов закрытой, а другую – открытой, и осуществлять подсчёт Nk в соответствии с принятым условием. Числа Nk также заносят в таблицу.
-
Рассчитывают по (1) относительные частоты νk и заносят их в таблицу.
-
Вычисляют оценки плотностей вероятностей (плотностей относительных частот) по (4) и заносят их в таблицу.
-
По полученным данным строят графики или либо в виде гистограммы, либо в виде полигона.
Форма графиков функций F(x) и (x) определяются природой случайной величины. Некоторые законы распределения случайных величин хорошо изучены в теории вероятностей и математической статистике. Наиболее распространённым и типичным для массовых случайных явлений природы является нормальный закон Гаусса. Известны также законы распределения Пуассона, биноминальный, экспоненциальный и др. Некоторые из них применяются в теории оптимального эксперимента.
Аналитическое выражение кривой (x) нормального распределения Гаусса:
. 1111\* MERGEFORMAT ()
где M{x} – математическое ожидание случайной величины x; 2{x} – генеральная дисперсия.