- •Замкнутые системы автоматического регулирования
- •Разомкнутые системы автоматического регулирования
- •Самонастраивающиеся системы
- •Передаточная функция
- •Преобразование структурных схем систем автоматического регулирования
- •Основные понятия об устойчивости автоматических систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости
- •Критерии устойчивости
- •Критерий Гурвица
- •Критерий Найквиста
- •Понятие о запасе устойчивости.
- •Качество автоматических систем
- •Статическая ошибка и передаточная функция ошибки
- •Показатели качества по переходной характеристике
- •Введение жесткой обратной связи
- •Введение производной в закон регулирования
- •Введение изодромной обратной связи
- •6.1 Системы автоматического управления самолётом
- •6.2 Стабилизация самолёта относительно центра масс. Автопилот
- •Боковой канал
- •Продольный канал
- •Канал руля направления
- •Демпфер рыскания
- •7.1 Обеспечение устойчивости и управляемости самолёта при автоматическом полёте
- •7.2 Автоматическая стабилизация скорости полёта самолёта
- •8.1 Автоматическое управление самолётом на маршруте
- •Горизонтальная навигация.
- •Стабилизация заданного путевого угла
- •Вертикальная навигация.
- •9.1 Автоматический заход на посадку
- •Директорный режим полета
- •10.1 Автоматический режим выравнивания и приземления
- •Автоматизированный взлет
- •Система автоматического контроля и резервирования
Основные понятия об устойчивости автоматических систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости
Устойчивость - необходимое свойство любой системы автоматического регулирования и важнейшая характеристика, определяющая ее работоспособность.
Под устойчивым состоянием системы понимается такое состояние, при которой она, будучи выведенной из состояния равновесия внешним возмущением, возвращается к первоначальному положению равновесия после устранения этого возмущения. С точки зрения устойчивости неважно, за какое время и каким путем приходит система в установившееся состояние, важно, чтобы переходный процесс был затухающим.
Неустойчивая же система, например, регулирования температуры, при изменении внешней температуры (возмущения), не может установить постоянной регулируемую величину (температуру), она непрерывно меняется: либо увеличивается, либо уменьшается, либо колеблется с увеличивающейся амплитудой.
Создавая систему автоматического регулирования, можно заранее сделать вывод об ее устойчивости, если найдено дифференциальное уравнение, связывающее выходной сигнал с входным. Анализируя выходной сигнал y(t) , представляющий собой изменение во времени регулируемого параметра, нужно выяснить: может ли этот параметр согласно уравнению со временем стремиться в бесконечность или его значение при переходе из одного состояния в другое асимптотически приближается к конечному значению. В первом случае система неустойчива, во втором - устойчива.
Выходной сигнал y(t) представляет собой решение дифференциального уравнения. Как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, решение его можно записать как сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения y(t)= yпр(t) + yсв(t). Частное решение имеет физический смысл принужденной составляющей выходного сигнала, изменяющегося под действием управляющего сигнала и асимптотически приближающегося к постоянному установившемуся значению. Эта составляющая не может непрерывно увеличивать выходной сигнал. Вторая составляющая выходного сигнала yсв(t) называется свободной составляющей и характеризует собственные свободные (непринужденные) движения системы. Она может быть всегда записана в следующем виде
yсв(t)=А1eλ1t+A2eλ2t +… Аneλnt, (3.1)
где А1, А2 , Аn- постоянные коэффициенты, которые находятся из начальных условий; n - порядок дифференциального уравнения (таким образом количество экспонент в уравнении (3.1) равно степени дифференциального уравнения; λ1, λ2, λn - корни характеристического уравнения. Из выражения (3.1) видно, что yсв(t), следовательно y(t) будет непрерывно возрастать со временем и система будет неустойчивой, если хотя бы в одной экспоненте корень характеристического уравнения λ будет положителен.
Рис. 3.1 Характер изменения во времени свободной составляющей решения характеристического дифференциального уравнения при различных корнях характеристического уравнения:
а) корни действительные и положительные; б) корни действительные и отрицательные; в) имеется корни комплексно-сопряженные в положительной действительной частью; г) корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью
Если же все корни отрицательны, то при t→∞ свободная составляющая yсв(t) стремится к нулю, такая система устойчива. На рис. 3.1 а, б показаны зависимости изменения во времени свободной составляющей выходного сигнала при λ›0 и λ‹0 . Некоторые корни характеристического уравнения могут быть попарно комплексно-сопряженные. Если, например, корни λ2 и λ3 комплексно-сопряженные, то их можно записать в виде
λ2=α+јβ; λ3=α-јβ; (3.2)
тогда в уравнении (3.1) они образуют выражение c2eλ2t+ c3eλ3t , которое после подстановки (3.2) преобразуется с помощью формул Эйлера в составляющую Кeαtsin(βt+φ), которая будет затухать только в том случае, если вещественная часть корней отрицательна (см. рис. 3.1 в, г). На основе такого анализа можно сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости системы автоматического регулирования.
Система автоматического регулирования устойчива, если все вещественные корни характеристического уравнения отрицательны, и все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть. В противном случае она неустойчива, либо находится на границе устойчивости.