- •Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата
- •1.1 Задача
- •1.2 Типовой пример решения задачи
- •Вероятность катастрофы ла с дублирующими системами
- •Вероятность катастрофы ла без дублирующих систем
- •1.3 Варианты задания 1
- •Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета
- •2.1 Задача
- •2.2 Типовой пример решения задачи
- •2. 3 Варианты задания 2
- •Методические указания по выполнению курсовой работы
- •Требования к оформлению курсовой работы
- •Список литературы
- •Условные обозначения и сокращения
- •Номера вариантов числовых данных для заданий 1 и 2 в соответствии с порядковым номером курсанта в списке группы журнала учета учебных занятий
- •Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов
ДЕПАРТАМЕНТ ПО АВИАЦИИ
МИНИСТЕРСТВА ТРАНСПОРТА И КОММУНИКАЦИЙ
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Минский государственный высший
авиационный колледж
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
Методическое руководство
по выполнению курсовой работы
Минск
2010
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171
Т 33
Составитель
А. Н. НАРОЛЬСКАЯ
Рецензенты:
И. Л. ДУДНИКОВ
заведующий кафедрой «Техническая эксплуатация
авиационного оборудования»,
кандидат технических наук, доцент
В. П. ВАСИЛЬЕВ
профессор кафедры «Математика и информатика»
Минского филиала Московского государственного
университета экономики, статистики и информатики,
кандидат физико-математических наук
Обсуждено и рекомендовано к изданию
Научно-методическим советом МГВАК
(протокол от 28 сентября 2010 года № 2)
Т 33 Теория вероятностей и математическая статистика: методическое руководство
по выполнению курсовой работы / сост. А. Н. Нарольская. – Минск: МГВАК,
2010. – 36 с.
Данное методическое руководство составлено в соответствии с программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», содержит задания для курсовой работы и типовые примеры их решения, рекомендации по выполнению и оформлению курсовой работы по данной дисциплине.
Издание предназначено для курсантов третьего курса специальности 1-37 04 02-01 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и светотехническое оборудование).
© МГВАК, 2010
B ведение
Методическое руководство составлено с учетом специфики преподавания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Оно содержит два задания для курсовой работы, типовые примеры их решения в объеме, достаточном для самостоятельного выполнения курсовой работы по данной дисциплине.
Каждое задание связано с решением прикладной задачи. Выполняя отдельные этапы задания, курсант должен продемонстрировать умение пользоваться теми или иными методами решения задач теории вероятностей и математической статистики.
Методическое руководство состоит из трех разделов. Первые два
содержат теоретический материал для решения задач заданий 1 и 2. Для обоих заданий приведены типовые примеры решения соответствующих задач и варианты заданий для курсовой работы.
Третий раздел содержит материал, который будет полезен для правильного оформления курсовой работы.
При подготовке данного методического руководства были использованы публикации [1, 2].
Задание 1
Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата
1.1 Задача
Летательный аппарат (ЛА) состоит из:
-
m двигателей с вероятностью отказа P1 , P2 , …, Pm ;
-
n дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа
P1э , P2э , …,;
-
N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС
каждая.
Катастрофа наступает, если выходят из строя:
-
любые (r+1) и более двигателей;
-
все системы энергоснабжения;
-
хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.
В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .
Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа P1э и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.
В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом:
-
двигателей;
-
систем энергоснабжения;
-
вспомогательных подсистем.
1.2 Типовой пример решения задачи
Дано:
m |
r |
n |
N |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
PD |
P1э |
P2э |
P3э |
PС |
4 |
3 |
3 |
103 |
10-3 |
3·10-3 |
4·10-3 |
10-2 |
0,5 |
10-3 |
5·10-3 |
10-2 |
10-8 |
Решение:
М а т е м а т и ч е с к а я ч а с т ь
Введем обозначения событий:
D1, D2, D3, D4 – отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;
B1, B2, B3 – отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;
Ci – отказ i-й вспомогательной подсистемы, i = ;
ЕК – катастрофа;
ЕKD, ЕKЭ, ЕKC – катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.
Вероятность катастрофы ла с дублирующими системами
В этом случае
. (1.1)
Перейдем к противоположным событиям и будем иметь:
. (1.2)
Вследствие соотношения двойственности из равенства (1.2) получим:
. (1.3)
Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:
. (1.4)
Вследствие независимости событий из равенства (1.4) получим:
-
(1.5)
Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, ЕKC и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом:
-
двигателей ЕKD;
-
систем энергоснабжения ЕKЭ;
-
вспомогательных подсистем ЕKC .
Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P(ЕKD) = PKD .
Так как событие ЕKD – это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .
Значит,
.
Так как в нашем случае число двигателей m = 4, а r = 3; то
r + 1 = 3 + 1 = 4.
Следовательно,
,
где ЕKD3 – событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 3 из m = 4 двигателей;
ЕKD≥4 – событие, состоящее в том, что катастрофа произошла в
связи с выходом из строя любых (r+1) = 4 и более двигателей, а в нашем случае ЕKD≥4 = ЕKD4 – это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа всех четырех двигателей. Из этого следует, что
. (1.6)
В свою очередь, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей
(при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью PD), значит,
, (1.7)
тогда
.
Так как события ЕKD3 и ЕKD ≥ 4 несовместны, то
а для нашего случая, учитывая выражение (1.6), получим:
С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:
(1.8)
то есть работает только 4-й, либо 3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из четырех имеющихся у ЛА.
Доказать, что события EKD3 и ЕKD ≥ 4 несовместны, можно следующим образом:
Согласно равенствам (1.7) и (1.6) имеем:
в соответствии с выражением (1.8) находим далее:
Используя тот факт, что и , получим:
Но если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.
______________________
Примечание – и – прерванное и продолженное преобразование текущего выражения.
По определению условной вероятности имеем:
а вследствие независимости событий далее находим:
Используя равенство (1.7) и несовместимость его слагаемых, получим:
Вследствие независимости всех событий и так как , будем далее иметь:
Так как P (Di) = Pi , i = 1,4 и P (EK / ED3) = PD , то
Если выполняется условие
(1.9)
для всех и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то
,
а также значит, что
.
Тогда имеем
(1.10)
(1.10)
Подставив значения, данные из условия задания, получим:
(1.11)
Рассмотрим структуру событий ЕКЭ и найдем Р(ЕКЭ) = РКЭ .
ЕКЭ ≡ В1 · В2 · В3 – катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).
Так как все события В1 , независимы, имеем:
(1.12)
Подставив значения, данные из условия задания, получим
|
(1.13) |
Рассмотрим структуру событий ЕКС и найдем Р(ЕКС) = РКС . Событие ЕКС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем. Значит,
По закону двойственности
Так как события независимы, получим:
Поскольку, получим:
Тогда
Если выполняется условие:
то
(1.14)
Подставив значения, данные из условия задания, получим:
(1.15)
Р а с ч е т н а я ч а с т ь
Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность
катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то
Если выполняется условие и и , то будем далее иметь
Видно, что , так как .
Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.