![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики
К.В.Богданов (студент), М.А.Марценюк (профессор)
физический факультет
Пермского государственного университета mrcn@psu.ru
Логика
нечётких предикатов развита в
векторно-матричном представлении.
Предикат мыслится как векторное поле
нечётких переменных над заданным
множеством термов. Вводятся операции
над предикатами, предлагается вариант
построения нечёткого вывода на основе
правил, сформулированных в виде отношений
между предикатами. Дано определение и
указан метод вычисления нечетких
кванторов
и
.
Приводится пример нечёткого вывода на
основе введенного аппарата.
1. Введение
В работах
одного из авторов [1, 2] было развито
матричное представление нечёткой
логики, естественным образом обобщающее
аппарат обычной «чёткой» логики.
Отправной точкой было выбрано тензорное
представление логики, предложенное в
работах E.Mizraji
[3, 4]. Логические переменные представлены
2D векторами
,
компоненты которых удовлетворяют
условиям:
.
Отрицание
вектора
эквивалентно перестановке его компонент:
.
Пространство нечётких векторов обозначаем
символом
.
Мерой нечёткости логического вектора
служит
энтропия
. (1)
Каждой
логической операции
между векторными переменными
сопоставляется тензор 3-ранга
,
реализующий отображение
(или
).
При этом тензоры
сохраняют тот вид, который они имели в
векторном представлении «чёткой»
логики. Это позволяет однозначно
интерпретировать операции над нечёткими
логическими переменными. Кроме того,
между операциями сохраняются те же
связи, которые имели место в «чёткой»
логике, например, правила де Моргана.
Однако алгебраические свойства
некоторых операций над «существенно
нечёткими» переменными, такие как
идемпотентность, дистрибутивность,
закон исключения третьего и закон
противоречия, в нечёткой логике не
выполняются. При этом они остаются
справедливыми для случая, когда логические
переменные принимают чёткие значения,
совпадающие с векторами «базиса»
или
,
имеющими смысл «ложь» и «истина»
соответственно.
Большое
удобство векторного представления
состоит в том, что операции над логическими
переменными могут быть представлены в
матричном виде. Например, сопоставляя
вектору
конъюнктивную
и
дизъюнктивную
матрицы:
, (2)
мы можем представить нечёткие конъюнкцию, дизъюнкцию и импликацию в виде
. (3)
Это позволяет выразить результат операций через компоненты исходных векторов («сомножителей»), а также использовать при решении логических задач матричную алгебру.
Отметим также, что любая формула, связывающая нечёткие переменные имеет реализацию в виде разветвленной электрической схемы, содержащей определенное число делителей тока (см. подробнее [2]), что естественным образом обобщает схемы с дискретными переключателями в реализациях «чёткой» логики.
Основное достоинство матричного представления нечёткой логики состоит в возможности сведения задач получения логических выводов к решению линейных алгебраических уравнений. В [2] это продемонстрировано на примерах нечёткого правила «модус поненс» и «метода резолюций».
Цель
настоящей работы состоит в построении
матричной модели нечётких предикатов.
Как известно [5, 6], язык предикатов
значительно расширяет возможности
решения задач по сравнению с логикой
высказываний, которая рассматривалась
в [2]. Во втором разделе работы дается
определение нечётких предикатов,
основных операции над ними, предлагается
вариант построения нечёткого вывода
на основе правил, сформулированных в
виде отношений между предикатами. В
третьем разделе вводится понятие о
нечётких кванторах
и
,
даются формулы для их вычисления. В
четвертом разделе рассматривается
конкретный пример нечёткого вывода в
логике предикатов. В заключении делаются
некоторые общие выводы.