- •1. Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Понятие согласованной матрицы.
- •2. Определители и их свойства. Теорема Лапласа.
- •3. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
- •4. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •5. Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •6. Линейные системы и уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, матричным способом, методом Гаусса.
- •7. Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.
- •8. Плоскость в пространстве. Все виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •9. Уравнение эллипса, гиперболы, параболы и их основные черты.
- •10. Линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве. Базис в r2, r2.
- •11. Все виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •12. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов и их свойства.
- •13. Переход от одного базиса к другому. Матрица перехода.
- •14. Векторы и линейные операции над ними. Проекция вектора. Полярная система координат.
- •15. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
- •16. Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат.
- •17. Взаимное расположение прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися, параллельными прямыми. Угол между прямыми.
- •18. Линейные операторы их матрицы в заданном базисе. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •19. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.
- •20. Применение квадратичной формы к исследованию кривых второго порядка.
- •21. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.
- •22. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
- •23. Линейная независимость векторов, базис, равномерностью линейного пространства.
- •24. Линейное пространство. Определение, примеры. Понятие линейного подпространства. Критерий.
- •25. Поверхности второго порядка.
Вопросы к экзамену по ЛАиАГ
1.+ Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Понятие согласованной матрицы.
2.+ Определители и их свойства. Теорема Лапласа.
3.+ Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
4.+ Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
5.+ Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
6.+ Линейные системы и уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, матричным способом, методом Гаусса.
7.+ Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.
8. + Плоскость в пространстве. Все виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
9. + Уравнение эллипса, гиперболы, параболы и их основные черты.
10. + Линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве. Базис в R2, R2.
11. + Все виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.
12. +Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов и их свойства.
13. +Переход от одного базиса к другому. Матрица перехода.
14.+ Векторы и линейные операции над ними. Проекция вектора. Полярная система координат.
15. +Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
16. + Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат.
17. + Взаимное расположение прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися, параллельными прямыми. Угол между прямыми.
18. + Линейные операторы их матрицы в заданном базисе. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
19. + Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.
20. + Применение квадратичной формы к исследованию кривых второго порядка.
21. + Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.
22. + Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
23. + Линейная независимость векторов, базис, равномерностью линейного пространства.
24. + Линейное пространство. Определение, примеры. Понятие линейного подпространства. Критерий.
25. + Поверхности второго порядка.
1. Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Понятие согласованной матрицы.
Опр. Прямоугольная таблица чисел, где первая строка… называется матрицей mxn числа aijeR( i=1,n; j=1,m)
Двойная индексация элементов akl вводится для удобства и указывает, что элемента akl находится в k-ой строке и l-м столбце.
Опр. Столбцы матрицы называют вектор-столбцами, а строки вектор-строками.
Обычно для краткости матрицы обозначают A,B,C или A=[aij](i=1,n;j=1,m)
Опр. Две матрицы А и B называются равными если они имеют одинаковые равные размеры и равные элементы, стоящие на одинаковых местах.
Матрица А=0, если все элементы aij равно нулю.
Опр. Если m=n, то матрица А называется квадратной порядка n.
Квадратную матрицу А, где элементы aij=0, при i/=j называют диагональной.
Единичная матрица
Произведение числа на матрицу
Операция сложения(только для одинаковых размеров)
Разность матриц
Свойства
-А+B=B+А
-А+(B+С)=(А+B)+C
-A+O=A, O-нулевая матрица
-A+(-1)A=0
-a(bA)=(ab)A
-(a+b)A=aA+bA
-a(A+B)=aA+aB
-1*A=A
Опр. Матрица Аmxn называется согласованной с матрицей Bpxk, если число столбцом матрицы А равно числу строк матрицы B, т.е n=p.
Произведением матриц Аmxn=[aij] на матрицу Bmxk=[bij] наз матрица Cmxk=[cij], где cij=∑(s=1,n)aisbsj
2. Определители и их свойства. Теорема Лапласа.
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Определитель или детерминант является одной из важнейших характеристик матриц.
Опр. Определитель матрицы А порядка n, есть число |A| или detA, которое ставиться в соответствие матрице А.
Понятие определителя дается индуктивно в зависимости от порядка n данной матрицы А.
Опр. Если n=1, то есть матрица А состоит из одного элемента, то определитель есть само это число.
Опр. Если n=2, то есть матрица имеет вид… то |A|=a11a22-a12a21
Разложение по строке(столбцу)
Правило Саррюса
Минор
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя |A| называется число Aij=(-1)^i+j Mij
Определитель произвольного порядка n будет равен:
|A|=a11A11+a12A12+…+a1nA1n
Свойства
-определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы
-теорема Лапласса: сумма произведений элементов любой строки определителя по соотв алгебраическим дополнениями равна этому определителю
-если в матрице А одна строка или столбец нулевая, то опр. Всегда равен нулю
-пусть каждый элемент какой-нибудь строки есть сумма двух слагаемых, тогда такой определитель равен сумме двух определителей, прием в одном из них соответствующая стока состоит из первых слагаемых, а в другом из вторых
-если в матрице две строки одинаковые или пропорциональны друг другу, то определитель такой матрицы равен нулю.
-определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число
-сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраическое дополнение элементов другой строки определителя равно нулю
-определитель произведения двух матрицы равен произведению этих матриц
3. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Пусть n0 вектор единичной длины, имеющий тоже направление, что и вектор ОМ0, тогда его координатами явл. направляющим косинусом cosa, cosb n0(cosa,cosb). Если M – произвольная точка с коорд. М(x,y), то проекция радиус вектора OM=r в точке M на вектор n0 есть одна и таже величина для всех точек М, прямой l.
Пр.n0 OM=p (1).
C другой стороны по св-ву скалярного произведения, проекция на вектор n0 равна OM=(OM,n0) поэтому ур. (1) можно записать в след. Виде (r,n0)=p
xcosa+ycosb-p=0
Ур. Выражает условие того, что точка M(x,y) лежит на прямой l и назыв. Нормальным ур. M.
2 случая расположения точки (по одну и по разные стороны от прямой)
d=|x0cosa+y0cosb-p|