- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава IV НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования
- •1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла
- •1.2 Таблица основных интегралов
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •2.1 Интегрирование методом разложения
- •2.2 Интегрирование методом замены переменной
- •2.3 Интегрирование по частям
- •§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование правильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов
- •§ 5. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§ 6. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
- •§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Глава V ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции
- •§ 2. Понятие определенного интеграла
- •§ 3. Свойства определенного интеграла
- •§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
- •§ 5. Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
- •§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •8.1 Вычисление площади в Декартовых координатах
- •8.2 Вычисление площади в полярных координатах
- •§ 9. Длина дуги плоской кривой
- •9.1 Вычисление длины дуги в Декартовых координатах
- •9.2 Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •9.3 Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат
- •§ 10. Объем тела
- •Глава VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •§ 1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка
- •§ 6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.1 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.2 Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.3 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •7.1 Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства
- •7.1.1 Линейные уравнения без правой части
- •7.1.2 Линейные уравнения с правой частью
- •7.4 Метод вариации произвольных постоянных
- •7.5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •§ 8. Системы дифференциальных уравнений
- •8.1 Общие определения. Нормальные системы уравнений
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
48
Определение. Дифференциальные уравнения, в которых переменные можно разделить посредством умножения (деления) обеих частей уравнения на одно и то же выражение, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение вида
dy = f2 (x) dx f1 ( y)
приводится к уравнению с разделяющимися переменными умножением обеих частей на f1 ( y)dx .
Уравнение вида
f1 (x) f2 ( y)dx + f3 (x) f4 ( y)dy = 0
приводится к уравнению с разделяющимися переменными делением обеих частей на f2 ( y) f3 (x) . При этом могут быть потеряны решения, обращающие
это произведение в нуль.
|
Пример. |
Решить уравнение |
|
x2 y2 y′+1 = y . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. |
Преобразуем уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 y |
2 dy = y −1, |
|
|
x2 y2dy = ( y −1)dx . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делим обе части уравнения на x2 ( y −1) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
dy = |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y −1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: |
|
|
||||||||||||||||||||||
⌠ |
y2 |
|
⌠ dx |
⌠ |
|
1 |
|
|
|
⌠ dx |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dy = |
|
2 , |
y +1 + |
|
|
|
dx = |
|
2 , |
y |
|
+ y + ln |
y −1 |
= − |
|
+C . |
|||||
|
|
|
y −1 |
|
|
x |
||||||||||||||||||
⌡ y −1 |
|
⌡ x |
|
⌡ |
|
|
|
⌡ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При делении на x2 ( y −1) |
могли быть потеряны решения x = 0 и y −1 = 0 (т.е. |
|||||||||||||||||||||||
x2 ( y −1) = 0 ). Очевидно, |
y =1 – решение уравнения, |
x = 0 – нет. |
|
|
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение. Уравнение y′ = f (x; y) называется однородным, если функция f (x; y) может быть представлена как функция отношения своих ар-
гументов: f (x; y) = ϕ xy .
Пример 1. Уравнение |
(xy − y2 )dx −(x2 − 2xy)dy = 0 однородное, т.к. |
||||
его можно записать |
|
xy − y2 |
y x −( y x)2 |
|
|
dy |
= |
. |
|||
|
|
= |
|
||
dx |
|
1− 2( y x) |
|||
|
x2 − 2xy |
|
49
Однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = t x ( yx = t ), y′ = t′ x + t .
Пример 2. Решить уравнение
y′ = |
xy − y2 |
|
|
. |
|
x2 − 2xy |
Решение. Уравнение является однородным, т.к. y′ = yx −( y x)2 . 1− 2( y x)
Замена y = t x ( y x = t ), y′ = t′ x + t приводит к уравнению:
|
′ |
t −t 2 |
|
dt |
t −t 2 |
||
t +t |
x = 1 |
− 2t |
, |
dx x = 1− 2t −t , |
|||
|
t −t 2 |
−t + 2t 2 |
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
xdt = |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
||||
xdt = |
1 |
− 2t |
dx , |
1 |
− 2t |
|||
|
|
|
|
Разделяя переменные, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− 2t dt = dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интегрируем обе части полученного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
⌠1− 2t |
⌠ dx |
, |
|
1 |
+ 2 ln |
|
t |
|
= −ln |
|
x |
|
+ ln |
|
C |
|
, |
1 |
+ 2 ln |
|
t |
|
= ln |
|
C |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
⌡ t 2 |
⌡ |
|
x |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln(e1 t t 2 )= ln |
|
C |
|
, |
|
t 2 e1 t = |
C , |
|
ex y = C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Определение. |
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′+ p(x) y = q(x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
т.е. линейное относительно искомой функции и ее производной, называется линейным. Здесь p(x) и q(x) известные функции независимой переменной
x .
Чтобы его решить, надо сначала решить уравнение y′ + p(x) y = 0
(это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную C на неизвестную функцию C(x) . За-
тем выражение, полученное для y , подставить в уравнение (1) и найти функцию C(x) .
Пример 1. |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y′+ 2xy = xe−x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Решим уравнение |
y′ + 2xy = 0 : |
|
|
|
|
|
|
(*) |
|||
y′ = −2xy , |
dy |
= −2xdx , |
⌠ dy |
⌠ |
ln |
|
y |
|
= −x |
2 |
+C , |
|
|
||||||||||
y |
|
= − 2xdx , |
|
|
|
||||||
|
|
⌡ y |
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
|
|
ln |
|
y |
|
= ln e−x2 + ln |
|
|
C |
|
, |
|
ln |
|
y |
|
= ln Ce−x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y = Ce−x2 |
|
– общее решение уравнения (*). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть C = C(x) . Тогда y = C(x) e−x2 |
– подставляем в исходное уравнение: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
−x2 |
|
−C(x) e |
−x2 |
2x + 2x C(x) e |
−x2 |
= xe |
−x2 |
, |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
−x2 |
= |
xe |
−x2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C (x) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C (x) e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(x) = |
|
2 +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
C (x) = x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, общее решение исходного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Определение. Уравнение вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′+ p(x) y = q(x) yn , |
( n ≠1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
называется уравнением Бернулли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Чтобы его решить, надо обе части разделить на |
|
yn и сделать замену |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
= z . После замены получается линейное уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 2. |
|
|
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′+ 2xy = 2x3 y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
Разделим данное уравнение на y3 : |
|
y′ |
|
+ |
2x |
|
= 2x3 . |
После замены |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y3 |
|
y3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
= z получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
′ |
|
2 y |
|
|
|
2 y |
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′ |
|
z |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= − |
|
|
|
y |
4 |
|
|
|
= − |
|
y |
3 |
|
|
|
, |
|
следовательно, |
|
|
|
y |
3 = − |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Имеем: |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 + 2xz = 2x |
|
|
|
, |
− z |
+ 4xz |
= 4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решим уравнение |
− z′ + 4xz = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(***) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z′ = 4xz , |
|
|
|
dz |
= 4xdx , |
⌠ dz |
= |
⌠ |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
z |
|
|
= 2x |
2 |
+C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
4xdx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ z |
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ln |
|
z |
|
= ln e2 x2 |
|
+ ln C , |
|
z = Ce2 x2 |
|
– общее решение уравнения (***). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть C = C(x) . Тогда z = C(x) e2 x2 |
– подставляем в уравнение (**): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
2 x2 |
−C(x) e |
2 x2 |
|
4x + 4x C(x) e |
2 x2 |
= 4x |
3 |
, |
−C |
′ |
|
|
2 x2 |
= |
4x |
3 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−C (x) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ 4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
−dC(x) = |
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
− dC(x) = |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e2 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|