- •Матрицы. Линейные операции над матрицами.
- •Умножение матриц.
- •Свойства определителей
- •Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
- •Обратная матрица.
- •Ранг матрицы. Вычисление ранга.
- •Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
- •Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
- •Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
- •Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
- •Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Общее уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •32. Предел последовательности и его свойства.
- •Число е.
- •Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
- •Теоремы о пределах функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
- •Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Производная. Геометрический и механический смысл производной.
- •Дифференцирование суммы(разности) функций.
- •Дифференцирование произведения функций.
- •Дифференцирование частного двух функций.
- •Производная сложной и обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование и его применение.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Дифференциал. Инвариантность формы.
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
- •Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
- •Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •Ассимптоты графика функции.
- •Формула тейлора.
Матрицы. Линейные операции над матрицами.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк одинаковой длины и n-столбцов одинаковой длины. Матрица записывается в виде:
где aij R 1 i m 1 j n
Обозначают матрицу А, В, С, или сокращают. A3x2 Bmxn A = (aij)3x4
Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы и обозначают . aij, где i – номер строки, j – номер столбца.
Матрицы называются равными, если они одинаковых размеров, и на одинаковыъ позициях стоят одинаковые элементы.
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается 0mxn.
Матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n, называется квадратной. Квадратную матрицу размера mxn называют матрицей n-ого порядка. An
Элементы квадратной матрицы, у которой номер столбца равен номеру строки, называются диагональными и образуют главную диагональ.
Квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, называется скалярной. Скалярная матрица, у которой на диагонали стоят единицы, называется единичной матрицей. E = En
Если в квадратной матрице все элементы, лежащие ниже или выше главной диагонали равны нулю, то такая матрица называется треугольной. aij=0, i>j верхняя треугольная
aij=0, i<j нижняя треугольная
Линейные операции над матрицами – сложение, умножение на число.
Сложение матриц. Вводится только для матриц одинаковых размеров. Определение. Пусть A = (aij)mxn B = (bij)mxn – 2 матрицы одинаковых размеров. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица, обозначаемая A+B такая, что (A+B)mxn = (aij+bij)mxn . таким образом, сложение матриц осуществляется покомпонентно.
Умножение матрицы на число. Определение. Пусть A = (aij)mxn и αR. Произведением матрицы A на число называется матрица, обозначаемая αА, такая, что (αА)mxn = (αaij)mxn.. т.е. каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число. Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.
Матрица равная – А = (-1)А называется противоположной матрице А. Разность матрицы можно определить как А-В=А+(-В)
Свойства:
1. А+В=В+А
2. (А+В)+С=А+(В+С)
3. А-А=А+(-А)=О
4. 0А=О
5. 1А=А
6. α(А+В)=αА+αВ
7. (α+β)А=αА+βА
8. α(βА)=(αβ)А
Умножение матриц.
Упорядоченная пара (А, В) двух матриц называется согласованно, если число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В. В частности, согласованы в любом порядке 2 квадратные матрицы одного размера. Умножать можно только согласованные пары в порядке их согласования.
Произведением двух согласованных матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В.
Произведение n-экземпляров квадратной матрицы А АхА......А = Аn называется n-ной степенью.
Свойства произведения матриц:
1. А(ВС)=(АВ)С
2. (А+В)С=АС+ВС
3. С(А+В)=СА+СВ
4. α(АВ)=(αА)В=А(αВ)
5.ЕА = АЕ = А