- •Тема 3. Границя функції. Особливості границі. Розкриття невизначеностей. §1. Означення границі функції. Односторонні границі
- •§ 2. Основні теореми про границі.
- •Властивості границь
- •§3. Розкриття невизначеностей
- •§4. Перша та друга особливі границі. Деякі визначні границі.
- •Приклади обчислення границь функції
- •Завдання для практичної роботи
- •Завдання для контрольної роботи
Тема 3. Границя функції. Особливості границі. Розкриття невизначеностей. §1. Означення границі функції. Односторонні границі
Розглянемо просту лінійну функцію y = f(x) = 2x і задамо питання, до якого числа b наближатимуться значення цієї функції, якщо значення змінної х наближатимуться до числа 3. Для відповіді візьмемо декілька значень х, обчислимо відповідні їм значення f(x) та занесемо результати в таблицю:
X |
2,0 |
2,5 |
2,9 |
2,99 |
2,999 |
2,9999 |
Y=f(x)=2x |
4,0 |
5,0 |
5,8 |
5,98 |
5,998 |
5,9998 |
З таблиці видно, що значення функції наближуються до числа 6. З таблиці також видно, що значення змінної х наближуються до числа 3 “зліва” ( по числовій осі), тобто зі сторони чисел, менших числа 3. Можна взяти значення х “справа” ( на числовій осі), тобто більші за число 3, як показано в наступній таблиці:
X |
4,0 |
3,5 |
3,1 |
3,01 |
3,001 |
3,0001 |
Y=f(x)=2x |
8,0 |
7,0 |
6,2 |
6,02 |
6,002 |
6,0002 |
Числа в таблиці отримали інші, але зрозуміло, що значення функції як і раніш наближаються до числа 6. Математичними символами цей факт записують так: Lim (2x) = 6
x3
і читають: границя функції 2х, коли х прямує до 3, дорівнює 6. Значення слів “х прямує до 3” такий: значення змінної х скільки завгодно близько наближується до числа 3. Дамо тепер загальне означення.
Означення: Функція f(x) має границю b, коли х прямує до а, якщо значення f(x) скільки завгодно близько наближаються до числа b , при умові, що значення змінної х скільки завгодно близько наближається до числа а.
Означення: Число b називають правою ( лівою ) границею функції f в точці а, якщо
Позначають праву границю символом
Позначають ліву границю символом
y
b+e
b
b-e f(x)
0 а- а а+ Х
В математичних символах це означення можна записати так:
Слід відзначити, що в цих означеннях розглядаються значення х, скільки завгодно близькі до числа а, але не співпадаючі з числом а
Якщо ж функція f(x) визначена в точці а і виконується рівність то f(x) називається неперервною функцією в точці а.
Означення: Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення, називається неперервною функцією.
Наведене вище означення границі функції корисно узагальнити на той випадок, коли значення х можуть ставати скільки завгодно великими.
А саме:
Означення: Функція f(x) має границю, рівну числу b , коли х прямує до безмежності, якщо значення функції скільки завгодно близько наближаються до числа b , при умові, що значення х ставатимуть скільки завгодно великими.
За допомогою математичних символів це означення можна записати так: Символ означає “безмежно велику величину”.
Змінна х може необмежено прямувати в сторону від`ємних значень. Тоді відповідна формула набуває вигляду:
тобто, перед символом ставиться знак мінус. Як приклад приведемо графіки уже відомих нам показникових функцій.
Y
1
0 X
Хоча графіки показникових функцій можуть скільки завгодно близько наближатись до осі OХ, вони її ніколи не перетинатимуть і не дотикатимуться. Прямі лінії, до яких графіки функцій можуть необмежено наближатись, не перетинаючи і не дотикаючись до них, називаються асимптотами. Таким чином, вісь ОХ є горизонтальною асимптотою показникової функції.
Розглянемо ще так звані безмежні границі, а саме необмежене зростання функції, коли незалежна змінна х скільки завгодно близько наближається до числа а. В цьому випадку використовують позначення або, якщо значення функції необмежено спадає,
Останній випадок наочно іллюструє графік логарифмічної функції, приведений на малюнку
У
0 1 Х
В даному випадку значення логарифмічної функції необмежено спадають, коли х наближається до нуля. Одночасно графік функції скільки завгодно близько наближається до осі ОУ, не перетинаючи і не дотикаясь до неї. Звідси можна зробити висновок , що вісь ОУ є вертикальною асимптотою логарифмічної функції.