- •Цель работы: 1. Определить методом крутильных колебаний модули кручения и сдвига струны.
- •2. Получить оценки численных значений модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия материала струны.
- •1. Упругие свойства твердых тел.
- •2. Связь модуля сдвига с модулем кручения струны
- •3. Крутильные колебания
- •4. Оценка модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия.
- •Контрольные вопросы
- •Литература
Министерство образования республики Беларусь
Белорусский национальный технический
университет
Кафедра физики
Методические указания к лабораторной работе № 23
Определение модулей кручения и сдвига методом крутильных колебаний
для студентов строительных специальностей
Минск 2006
УДК 531.38(076.5)
ББК 22.213.я7
062
В работе изложен экспериментальный метод определения модуля кручения и модуля сдвига упругого материала в виде струны методом крутильных колебаний. Рассмотрены оценки модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия исследуемого материала.
Составители: А.А. Баранов, А.П. Каравай
Рецензенты: И.А. Сатиков, В.Н. Кудин
© Белорусский национальный технический университет, 2006
Цель работы: 1. Определить методом крутильных колебаний модули кручения и сдвига струны.
2. Получить оценки численных значений модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия материала струны.
1. Упругие свойства твердых тел.
В теории упругости изучают действия только статических нагрузок на твердые тела. Динамические нагрузки представляют собой волны в телах.
Под влиянием внешних статических силовых (не температурных) воздействий тела испытывают деформацию, т.е. меняют форму и размеры. В линейной теории упругости изучают только малые напряжения (нагрузки).
Рассмотрим следующие виды деформаций: сжатие (растяжение), сдвиг, всестороннее сжатие, кручение.
а) Для продольных упругих деформаций изотропных твердых тел (стержней, струн) справедлив закон Гука: относительная деформация пропорциональна напряжению :
, (1)
где – напряжение, т.е. внешняя сила F отнесенная к единице площади поперечного сечения тела (стержня), – относительная деформация тела, т.е. отношение абсолютной деформации к начальной длине тела (стержня) , l – длина после нагрузки; Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга.
Модуль Юнга – числено равен напряжению при относительной деформации равной единице.
б ) Сдвиг – деформация, при которой все плоские слои твердого тела, параллельные некоторой закрепленной плоскости (плоскости сдвига) смещаются параллельно друг другу не искривляясь и не изменяясь в размерах. Сдвиг происходит под действием силы F, приложенной к грани параллельной плоскости сдвига (рис.1).
Мерой деформации является угол сдвига , измеряемый в радианах.
По закону Гука: относительный сдвиг пропорционален касательному (скалывающему) напряжению , т.е.
. (2)
Здесь модуль сдвига численно равен касательному напряжению, вызывающему относительный сдвиг, равный единице.
Относительное продольное растяжение (сжатие) тела сопровождается его относительным сужением (расширением) , где d – поперечный размер тела.
Коэффициентом Пуассона (модулем поперечного сжатия) называется отношение относительного поперечного сужения (расширения) к относительному продольному удлинению (сжатию) , т.е.
. (3)
Из теоретических соображений [1,7] коэффициент Пуассона заключен в пределах
–1 0,5.
Материалы с отрицательным неизвестны. Для большинства твердых тел из опыта 0,25.
в) Деформация всестороннего сжатия (растяжения) – уменьшение (увеличение) объема тела без изменения его формы под влиянием равномерно распределенных по всей поверхности тела сжимающих (растягивающих) сил.
По закону Гука имеем:
, (4)
где – относительное изменение объема тела под действием напряжения .
Здесь модуль всестороннего сжатия (объемной упругости) численно равен напряжению при относительном изменении объема равном единице.
Из теории упругости [1,7] вытекают следующие связи модулей G, E, K [1,7]
(5)
(6)
г) Кручением называются деформация тела (струны) с одним закрепленным концом под действием пары сил, плоскость которой перпендикулярна к оси тела. Момент М этой пары сил называется крутящим (вращательным) моментом.
Для цилиндрической формы (струны, стержня) по закону Гука угол закручивания отнесенный к длине струны L, т.е. относительная деформация пропорциональна крутящему моменту М, т.е.
(7)
Модуль кручения численно равен вращательному моменту при относительном угле закручивания равном единице.
Для анизотропных твердых тел напряжения и деформации являются тензорами второго ранга [4].
В декартовых координатах тензор напряжений равен
,
тензор деформаций .
Эти тензоры линейно связаны между собой.
Для анизотропных кристаллов закон Гука принимает вид
,
где i, j, k, l = 1, 2, 3 и по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Число модулей упругости тензора сводятся к 21 в виду симметрии тензора и [4]. В самом простейшем изотропном случае получается только два модуля Е и G.