- •Матриці. Загальний вигляд матриці
- •Матриці
- •Види матриць
- •Операції над матрицями. Загальний вигляд. Приклад
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •3.Матричне числення в економіці
- •Використання систем лінійних рівнянь
- •Лінійна модель торгівлі
- •Застосування похідної в економіці
- •Отримання максимального прибутку
- •Оптимізація оподаткування підприємств
- •Закон зменшення ефективності виробництва
План
Матриці. Загальний вигляд матриці…………………………………………2
Операції над матрицями ( сума, різниця, добуток). Загальний вигляд. Приклад…………………………………………………………………………4
Матричне числення в економіці……………………………………………….6
Література………..………………………………………………………………………17
Матриці. Загальний вигляд матриці
Переважна кількість задач з економіки моделюється за допомогою систем лінійних алгебраїчних рівнянь, із якими тісно пов'язані матриці й визначники. Уперше на можливість застосування таблиць чисел (матриць) для аналізу економічних проблем указав французький економіст Франсуа Кене (1694-1774). Поняття матриці дозволяє подати і далі оперувати в компактній формі з таблицями даних ( матрицями витрат ресурсів, виробленої продукції та ін.).
Матриці
Матрицею порядку (розміру) m * n називається прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків і n стовпців. Матриці позначаються великими літерами, наприклад, А,В, а елементи матриць – відповідними малими літерами з двома індексами: aij ,bij. Перший індекс указує номер рядка, другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент у матриці. Записується матриця за однією із форм:
A= = = . (1.1)
Використовуються і скорочені позначення:
Елементи aij матриці, в яких номер рядка дорівнює номеру стовпця, називаються діагональними та утворюють головну діагональ.
Види матриць
Матриця порядку n*n називається квадратною матрицию n-го порядку.
Діагональною називається квадратна матриця, в якій всі елементи, що не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю.
Діагональна матриця, в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одинці, називається одиничною матрицею і позначається літерою Е.
Матриця будь-якого розміру називається нульовою, якщо всі її елементи дорівнюють нулю.
Матриця, що складається з одного рядка, називається матрицею (вектором)- рядком, а з одного стовпця – матрицею (вектором)- стовпцем.
Квадратна матриця, в якій всі елементи під (над) головною діагоналлю дорівнюють нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею.
Операції над матрицями. Загальний вигляд. Приклад
Рівність матриць. Дві матриці А і В однакового розміру називаються рівними якщо aij=bij для будь- яких i,j.
Множення матриці на число. Добутком матриці на число називається матриця , кожний елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента матриці А на число 𝝀 .
Додавання (віднімання) матриць. Сумою (різницею) матриць A i B однакового розміру m*n називається матриця ,елементи якої дорівнюють сумам (різницям) відповідних елементів матриць Наприклад,
=
Множення матриць. Операція множення матриць визначена тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Добутком матриць називається матриця кожний елемент якої, що стоїть на перетині і-го рядка та j-го стовпця, дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В:
(1.2)
Зауваження. Кількість рядків матриці дорівнює кількості рядків матриці А, а кількість стовпців – кількості стовпців матриці В.
Приклад 1.1. Знайти АВ і ВА , якщо А=
= .