БЕЛОРУСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Теоретическая механика»
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине
«Теоретическая механика»
Раздел II. «Кинематика»
Тема № 2.2. «Кинематика точки»
Лекция № 11
«Ускорение точки»
Минск-2010г.
УЧЕБНЫЕ И ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛИ:
1. Ознакомиться с ускорением точки при различных способах задания движения.
2. Изучить касательное и нормальное ускорения точки.
3. Воспитание у обучаемых общей и технической культуры, чувства гордости за выбранную воинскую профессию.
УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Ускорение точки при различных способах задания движения. Естественные координатные оси. Вектор кривизны.
2. Определение ускорения точки при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорения точки.
3. Некоторые частные случаи движения точки.
ВРЕМЯ: два академических часа
МЕСТО: учебная аудитория
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ:
Изложение материала проводится в сочетании дедуктивного (от общего к частному – определения, анализ формул и т.п.) и индуктивного (от частного к общему – вывод формул, примеры работы механизмов и т.п.) методов. Рассматриваемые вопросы иллюстрируются плакатами и макетами механических устройств.
Активизация работы обучаемых достигается проблемным изложением материала, путём постановки и решения проблемных вопросов и задач, а также использование продуктивных методов обучения: частично-поискового и исследовательского.
Воспитательные цели достигаются личным примером преподавателя, требовательностью в выполнении руководящих документов и проведением информационной работы в идеологической и научно-технической области.
УЧЕБНО-МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ: плакаты.
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Курс теоретической механики / Под ред. К.С. Колесникова. М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 г.
2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник. – М.: Изд-во Высшая школа, 1990 г. 600 стр.
3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Статика. Кинематика. Динамика. – М.: Интеграл-ПРЕСС, 2006.
4. Тульев В.Д. Теоретическая механика. Статика и кинематика. – Мн.: Книжный дом, 2004.
5. Хижняк Е.И. Теоретическая механика. Методические рекомендации курсантам по подготовке к занятиям. Ч.III. – Мн.: ВА РБ, 2006.
План лекции:
I. ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ (3 минуты):
Проверка наличия обучаемых, внешнего вида и их готовность к занятию (наличие конспектов и чертежных принадлежностей).
Объявление темы, учебных вопросов и целей занятия, практической значимости тематики нового материала в изучении дисциплин по профилю обучения.
II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ (85 минут):
Вопрос 1. Ускорение точки при различных способах задания движения.
Ускорение точки можно задать тремя способами:
векторный;
координатный;
естественный.
Векторный способ задания движения.
Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.
Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и движется со скорость , а в момент t1 находится в положение M1 и имеет скорость (рис. 1).
Рисунок 1
Тогда за промежуток времени скорость точки получает приращение . Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный , и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , а одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор . Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:
(1)
Вектор среднего ускорения имеет, очевидно, то же направление, что и вектор , т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.
Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени Δt к нулю:
,
или, с учетом определения скорости из предыдущей лекции
(2)
Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.
Размерность ускорения - длина/(время)2; в качестве единицы измерения применяется обычно м/сек2.
Из формулы (2) следует также, что вектор ускорения точки равен отношению элементарного приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени dt.
Найдем, как располагается вектор по отношению к траектории точки При прямолинейном движении вектор направлен, очевидно, вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , так же как и вектор , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке M1. В пределе, когда точка M1 стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
Ускорения точки при координатном способе задания движения.
Рисунок 2
Вектор ускорения точки Отсюда на основании теоремы о проекции производной получаем:
(3)
или (4)
т.е. проекции ускорения точки на оси координат равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул:
(5)
где α1, β1, γ1 – углы, образуемые вектором ускорения с осями координат.
В случае же прямолинейного движения, которое задается одним уравнением x=f(t), будем иметь
(6)
Так как проекции на другие оси отсутствуют, то, следовательно, в данном случае т. е. при прямолинейном движении формулы (9) непосредственно определяют скорость и ускорение точки.
Естественные координатные оси. Вектор кривизны.
Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикулярную касательной, и спрямляющую плоскость, перпендикулярную соприкасающейся и нормальной плоскостям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник (рис. 3).
Рисунок 3
Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называется главной нормалью кривой.
Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей называется бинормалью кривой.
Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси; касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленная по отношению к касательной и главной нормали так же, как ось Оz направлена по отношению к осям Ох и Оу в правой системе координатных осей. Единичные векторы-орты этих осей обозначаются соответственно и . Естественные координатные оси имеют начало в точке М кривой и при движении точки М по этой кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.
Возьмем на кривой АВ две точки М и М1, соответствующие дуговым координатам ОМ = s и ОM1 = s + Δs. Покажем орты касательной и в этих точках (рис. 4). Модуль орта , равный единице, постоянен, но направление орта изменяется при перемещении точки по кривой, т. е. орт является переменным вектором.
Рисунок 4
Определим приращение орта на участке ММ1 = ∆s. Для этого отложим от точки М орт и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет орт , а диагональю — орт . Тогда другая сторона параллелограмма будет приращением орта , т. к. .
Разделим приращение орта на приращение дуговой координаты ∆s. Вектор характеризующий поворот касательной к кривой на участке ММ1, называется вектором средней кривизны кривой на участке ММ1. Этот вектор имеет направление вектора , т. е. направлен в сторону вогнутости кривой.
Предел , к которому стремится вектор средней кривизны кривой , когда ∆s стремится к нулю, называется вектором кривизны кривой в данной точке:
.
Орт касательной к кривой является вектор-функцией дуговой координаты s, т. к. его направление зависит от положения точки на кривой, т. е.
Тогда
Следовательно, вектор кривизны кривой в данной точке равен производной от орта касательной к кривой по дуговой координате.
Для определения модуля этого вектора рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный , и (рис. 4).
Угол между направлениями касательных в двух точках кривой М и М1 называется углом смежности. При малом расстоянии ∆s угол смежности тоже мал.
Модуль найдем как длину основания равнобедренного треугольника с малым углом при вершине и боковыми сторонами, равными единице.
Тогда
Модуль вектора кривизны К определяется по формуле
Из дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла смежности к приращению дуговой координаты при стремлении к нулю равен кривизне кривой , при - радиус кривизны кривой в точке М.
Установим также направление вектора кривизны.
Вектор средней кривизны находится в плоскости треугольника, составленного векторами , и , предельным положением которого является соприкасающаяся плоскость. Следовательно, вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости.
Рисунок 5
Рассмотрим угол , составленный вектором с касательной в точке М (рис. 4):
2β = 180° - ε; β = 90° - ε /2.
При приближении точки M1 к точке М угол смежности ε стремится к нулю, а поэтому
Так как вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости и перпендикулярен орту , то он направлен по главной нормали к центру кривизны кривой (рис. 5).
Представим вектор в виде произведения орта на модуль этого вектора:
где р = МС — радиус кривизны кривой в данной точке М.