ПРЕДИСЛОВИЕ
В данном учебно-методическом пособии изложен краткий курс теоретической механики, состоящий из трех разделов (статики, кинематики, динамики), для студентов немашиностроительных специальностей.
В разделе "Статика" даны определения силы, связей, реакции связи, классификация систем сил и уравнение равновесия для каждой из этих систем сил.
В разделе "Кинематика" уделено большое внимание способам задания движения точки, определению ее скорости и ускорения при различных способах задания движения. Разобрано сложное движение точки и плоскопараллельное движение твердого тела.
В разделе "Динамика" рассмотрены аксиомы динамики, силы инерции. В полном объеме описаны разделы "Работа и мощность", "Энергия".
Общие теоремы динамики включают следующие теоремы: теорему об изменении количества движения точки, теорему об изменении кинетической энергии точки и системы.
Из уравнений динамики рассмотрено уравнение динамики вращающегося тела.
Раздел 1. Статика
Т ем a 1.1 Основные положения статики
1.1.1. Общие сведения
Материальной точкой называют геометрическую точку, обладающую массой.
Абсолютно твердым телом называют такое материальное тело, в котором расстояние между любыми двумя точками всегда остается неизменным.
Способность тел сопротивляться изменению их формы и размеров называется жесткостью.
Мера механического действия одного материального тела на другое называется силой. Сила - величина векторная. Она определяется, во-первых, числовым значением (модулем), во-вторых, точкой приложения (местом контакта взаимодействующих тел), в-третьих, направлением действия.
В Международной системе единиц (СИ) сила выражается в ньютонах (сокращенное обозначение Н).1Н - небольшая сила, поэтому часто употребляют кратные единицы - килоныотон (1 кН = 103 Н) и меганьютон (1 МН = 106 Н).
Как всякий вектор, силу можно изобразить графически в виде направленного отрезка.
Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз.
Несколько сил, действующих на какое-либо одно твердое тело, называется системой сил.
Силы, действующие на твердое тело со стороны других тел, называются внешними. Силы, действующие на материальные точки твердого тела со стороны других точек того же тела, называются внутренними.
1.1.2. Аксиомы статики
Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.
Состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения точки называют равновесием.
Аксиома 2 (условие равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, образуют уравновешенную систему только тогда, когда они равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома 3 (принцип присоединения и исключения уравновешенных сил). Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Следствие 1. Силу, приложенную к твердому телу, можно переносить вдоль линии ее действия в любую другую точку, действие силы на тело при этом не нарушится.
Свойство вектора силы справедливо только в теоретической механике (механике абсолютно твердого тела).
Аксиома 4 (правило параллелограмма). Две приложенные к точке тела силы имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и равную диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.
Две силы и приложены к разным точкам тела, но линии их действия лежат в одной плоскости.
Аксиома 5 (закон действия и противодействия). Силы взаимодействия двух твердых тел друг на друга равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие этого тела не нарушится, если, не изменяя формы, размеров, положения в пространстве, оно превратится в абсолютно твердое тело, т.е. затвердеет.
1.1.3. Связи и их реакции
Твердое тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении. В качестве примера свободного тела приведем летящий воздушный шар или ракету в космосе. Твердое тело называется несвободным, если его перемещение в пространстве ограничено какими-либо другими телами.
Все тела, которые, так или иначе ограничивают перемещение данного тела, называются его связями.
Задача определения реакций связей - одна из основных задач статики.
Некоторые разновидности связей и правила определения их реакций.
I. Свободное опирание тела о связь.
Тело изображено в виде бруска, а связь заштрихована.
2.Гибкая связь. Реакции нитей или цепей всегда направлены вдоль самих связей в сторону от тела к связи.
3. Стержневая связь. Реакции стержневых связей направлены вдоль прямой, проходящей через оси концевых шарниров.
4. Шарнкрно-подвижная опора представляет собой видоизменение свободного опирания.
6.Шарнирно-неподвижная опора дает возможность телу свободно поворачиваться около шарнира, но препятствует поступательному перемещению тела в любом направлении, перпендикулярном оси шарнира.
Т е м а 1.2
Плоская система сходящихся сил
1.2.1. Сложение плоской системы сходящихся сил.
Геометрическое условие равновесия.
Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил. Если силы сходящейся системы приложены к разным точкам тела, то, по первому следствию из аксиом статики, каждую силу можно перенести в точку пересечения линий действия и получить эквивалентную систему сил, приложенных к одной точке.
Две силы, приложенные к одной точке тела, образуют простейшую плоскую систему сходящихся сил (две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости).
Рассмотрим систему сил , приложенных в точке А. Требуется найти их равнодействующую.
Применив правило силового треугольника, сложим силы и . Для этого из конца вектора отложим вектор и, соединив точки А и С, получим геометрическую сумму (равнодействующую) сил и :
Теперь сложим силу с силой . Для этого из конца вектора ВС= отложим вектор и, соединив точки А и D, получим равнодействующую трех сил :
где — искомая равнодействующая
Порядок построения сторон силового многоугольника не влияет на окончательный результат.
Чтобы уравновесить систему сил, достаточно к ней добавить еще одну силу, численно равную равнодействующей, но направленную в противоположную сторону.
.
В геометрической форме необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил: система сходящихся сил уравновешена тогда и только тогда, когда силовой многоугольник замкнут.
1.2.2. Определение равнодействующей системы
сходящихся сил методом проекций.
Аналитическое условие равновесия.
Вместо построения силового многоугольника равнодействующую
системы сходящихся сил более точно и значительно быстрее находят вычислением с помощью метода проекций, который обычно называется аналитическим.
Проекцией вектора на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора . Проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси;
Рассмотрим теперь определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций.
Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен многоугольник ABCDE. , в котором вектор
- искомая равнодействующая данной системы.
Выбрав систему координатных осей X и Y в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси.
Эти равенства короче записываются так:
,
где - знак суммы, а индекс к принимает последовательно значения от 1 до n по числу сходящихся сил, равнодействующую которых определяем.
Таким образом, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на каждую из осей координат равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.
и .
В аналитической форме условие равновесия плоской системы сходящихся сил: для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из двух осей координат были равны нулю.
Т е м а 1.3
Теория пар сил на плоскости
1.3.1. Пара сил. Эквивалентность пар сил.
Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в противоположные стороны, называется парой сил или просто парой. Понятие о паре сил ввел в механику французский ученый Луи Пуансо (1777-1859).
Пара сил - неуравновешенная система и не имеет равнодействующей. Пара сил производит на тело вращательное действие.
Вращательный эффект пары измеряется взятым со знаком плюс или минус произведением модуля одной из сил пары на ее плечо (момент пары), т.е.
Знак «плюс» ставится перед числовым значением момента в том случае, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и знак «минус» если пара стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки.
В Международной системе единиц (СИ) моменты пар выражаются в или .
Вращательное действие расположенной в данной плоскости пары зависит только от ее момента, поэтому для задания пары сил достаточно указать числовое значение ее момента, а затем по данному или выбранному плечу можно определить силы пары или по силам подобрать необходимое плечо. Исходя из этого, на рисунках и схемах пары сил изображают иногда просто круговой стрелкой, характеризующей лишь направление вращающего действия. Например, пары ( ) и ( ), приложенные к брусу, можно условно изобразить круговыми стрелками, обозначив их и .