- •1.Уравнение в частных производных
- •2.Основные типы уравнений
- •3.Линейное однородное ду в частных производных первого порядка
- •4.Вывод уравнения колебаний струны методом Фурье
- •5.Задачи Коши
- •6.Решение уравнений колебаний струны методом Фурье
- •7.Решение волнового уравнения методом д′Аламбера
- •8.Уравнение теплопроводности для однородного стержня
- •9.Уравнение теплопроводности в пространстве
- •10.Распростронение тепла в неограниченном стержне. Интервал Пуасснова
- •11.Задачи приводящие к уравнению Лапласа
- •12.Задачи Неймана и Дирихле
- •Внешняя задача Неймана
- •13.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье
- •14.Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события.
- •15.Теорема я.Бернулли
- •16.Совместные и несовместимые события. Полная группа парами несовместимых событий
- •17.Геометрическая интерпретация событий
- •18.Операции над событиями
- •19.Аксиомотическое определение вероятности
- •20.Теорема о сложении вероятностей. Примеры
- •21.Геометрическая интерпретация вероятностей. Вывод формулы для суммы совместимых событий
- •22.Умножение вероятностей
- •23.Условная вероятность
- •Определение
- •Замечания
- •24.Полная вероятность. Формула Байеса
- •25.Дискретные случайные величины и их характеристики
- •26.Относительная частота и вероятность для дискретных случайных величин
- •27.Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •28.Дисперсия, средневековое отклонение, моменты дискретной случайной величины
- •Определение
- •Замечания
- •Свойства
- •29.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотности вероятности
- •30.Теорема о связи функции распределения с плотностью вроятности
- •31.Интегральный закон распределения. Интегральная кривая
- •32.Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •33.Медиана и мода
- •34.Нормальный закон распределения
- •35.Медиана и мода нормального закона распределения
- •36.Интеграл вероятностей
- •37.Свойства интеграла вероятностей
- •38.Функция Лапласа
- •39.Среднее отклонение и средняя ошибка
- •40.Приведенная функция Лапласа
- •41.Правило трех сигм
- •42.Закон больших чисел. Предельные теоремы
- •43.Задачи математической статистики. Выборка, эмпирическая функция распределения
- •44.Статистический ряд и гистограмма
- •45.Среднее взвешенное и статистическая дисперсия
- •46.Точечные оценки
- •47.Распределение Пуасона
- •48.Распределение Стьюдента
- •49.Основные свойства точечной оценки
- •50.Исправленная выборочная дисперсия
- •51.Стандартная ошибка среднего арифметического
- •52.Интервальные оценки параметров распределения
- •53.Доверительный интервал, границы
- •54.Проверка статистических гипотез
- •55.Корреляционный анализ
- •56.Регрессионный анализ
1.Уравнение в частных производных
Определение: К ДУ частных производных относится уравнение относительных неизвестных функций нескольких переменных, ее аргумент и ее частн производная различных порядков
Порядком ДУ k›x производных называется порядок частных производных
Решением уравнения является некоторая функция U(x1, x2, ...., xn) которая образует уравнение в тождество
Линейное однородное ДУ частных производных 1-го порядка
ДУ частных производных 1го порядка можно записать в виде
Линейное уравнение частных производных 1го порядка имеет вид
(1)
Рассмотрим:
(2)
или
(3)
Система (2) и (3) наз нормальной
Общее ренение имеет вид:
(1)
Если разрешить эти уравнения относительно постоянной С, мы получим:
(2)
Каждая из функций является интегралом системы (2)
Теорема: Если есть интеграл системы (2) то функция является решением уравнения (1)
2.Основные типы уравнений
Основными уравнениями математической физики наз следующие ДУ с частными производными 2го порядка:
1.Волновое уравнение
(1)
a-некоторая константа
Это уравнение описывает множество физических процессов (поперечные колебания струны, продольные колебания стержня, электрические колебания в проводе, крутильные колебания вала и др.)
Это уравнение наз простейшим уравнением гиперболического типа
2.Уравнение теплопроводности(Фурье):
(2)
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, в теории вероятности и др
это уравнение является простейшим уравнением параболического типа
3.Уравнение Лапласа
(3)
Получено при рассмотрении задач в электрическом и магнитных полях, стационарным теплом состоянии, в задачах гидродинамики, диффузии и др. Является уравнением элиптического типа
3.Линейное однородное ду в частных производных первого порядка
Пусть y ' = f (x, y) — дифференциальное уравнение. Пусть функция f (x, y) задана на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных х, у. Относительно функции f (x, y) будем предполагать, что она сама и её частная производная является непрерывными функциями на всём открытом множестве Г, тогда
для всякой точки (х0, у0) множества Г найдётся решение у = φ (х) уравнения, удовлетворяющее условию у0 = φ(х0);
если два решения у = φ (х) и у = ψ (х) уравнения совпадают хотя бы для одного значения х = х0, то есть, если φ(х0) = ψ(х0), то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменного х, для которых они оба определены.
Числа (х0, у0) называются начальными значениями для решения y = φ(х), а соотношение у0 = φ(х0) — начальным условием этого решения.
Геометрическое содержание теоремы заключается в том, что через каждую точку (х0, у0) множества Г проходит одна и только одна интегральная кривая дифференциального уравнения.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение y ' = f (x, y) называется однородными, если правую часть уравнения можно преобразовать к виду
f(x, y) = g (y/x).
Алгоритм решения однородного уравнения:
y = u(x)·x.
u'·x + u = g(u).
u'·x = g(u) - u.
G(u) = ln | x | + ln c.