![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры.
- •1. Матрицы и определители.
- •Операции над матрицами.
- •Определители квадратных матриц.
- •Обратная матрица.
- •2. Системы линейных уравнений.
- •2.1. Система п уравнений с п неизвестными.
- •2.1.1. Метод обратной матрицы
- •2.1.2. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.
- •2.2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Тема 1. Элементы линейной алгебры.
1. Матрицы и определители.
Матрицей размера
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными
заглавными буквами латинского алфавита,
например, А, В, С и т.д. Для обозначения
элементов матрицы используют строчные
буквы с двойной индексацией:
,
где
- номер строки,
- номер столбца.
Например, матрица
или в сокращенной записи:
.
Например,
.
Две матрицы А и В одного размера
называются равными, если они совпадают
поэлементно, т.е.
для любых
.
Виды матриц.
Матрицы, состоящая из одной строки называется матрицей (вектором )-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)–столбцом.
Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов (т=п), например,
- квадратная матрица третьего порядка.
Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Так, для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы
.
Если все недиагональные элементы
квадратной матрицы равны нулю, то матрица
называется диагональной.
Например,
-
диагональная матрица третьего порядка.
Если у диагональной матрицы п- го
порядка все диагональные элементы равны
единице, то она называется единичной
матрицей п-го порядка и ее обозначают
буквой Е. Например,
- диагональная матрица третьего порядка.
Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю:
.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже или выше главной диагонали, равны нулю:
Операции над матрицами.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число
называется матрица
, элементы которой
. Например, если
.
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, элементы которой
; (т.е. матрицы складываются поэлементно).
Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через операции А-В=А+(-1)В.
Замечание. Операции сложения и умножения на число называются линейными операциями.
Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц
называется такая матрица
, каждый элемент которой
равен сумме произведений элементов -той строки матрицы А на соответствующие элементы -того столбца матрицы В.
; .
Пример. Вычислить произведение
матриц
.
Решение.
.
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами:
А+В=В+А; (А+В)С=АС+ВС;
(А+В)+С=А+(С+В); (АВ)= ( А)В=А( В);
(А+В)= А+ В; А(ВС)=(АВ)С.
А(В+С)=АВ+АС;
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так операция умножения матриц имеет отличия от умножения чисел:
а) Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки матриц местами произведение матриц ВА может и не существовать. Так в рассмотренном выше примере произведение ВА не существует, т.к. число столбцов первой матрицы (В) не равно числу строк второй матрицы (А).
б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
в) В случае, когда оба произведения
существуют и это матрицы одного размера
(это возможно, если перемножались
квадратные матрицы одного порядка),
коммутативный (переместительный) закон
умножения, вообще говоря, не выполняется,
т.е.
.
В частном случае коммутативным
законом обладает произведение любой
квадратной матрицы А п-го порядка
на единичную матрицу Е того же порядка,
причем это произведение равно А:
.
Т.о. единичная матрица играет при умножении матриц такую же роль, что и число 1 при умножении чисел.
г) Произведение двух ненулевых матриц
может равняться нулевой матрице, т.е.
из того, что АВ=0 не следует, что А=0 или
В=0. Например,
.
Возведение в степень. Целой положительной степенью
квадратной матрицы А называется произведение т матриц А, т.е.
. Нетрудно показать, что:
.
Транспонирование матрицы – переход от матрицы
к матрице
, в которой строки и столбца поменялись местами с сохранением порядка.
.
Обозначают транспонированную матрицу
также символом
.
Из определения следует, что, если
матрица А имеет размер
,
то транспонированная матрица
имеет размер
.