- •11. Одномерные течения идеального газа
- •11.1. Некоторые термодинамические соотношения
- •11.2. Различные формы уравнения бернулли. Скорость распространения малых возмущений в газе
- •11.3. Параметры торможения и критическая скорость. Изоэнтропические формулы
- •11.4. Изменение параметров газа при течении по трубе переменного сечения
- •11.6. Истечение газа из резервуара через сужающееся сопло. Формула сен-венана-ванцеля
- •11.6. Прямой скачок уплотнения
- •11.7. Ускорение и торможение газовых потоков
11. Одномерные течения идеального газа
_____________________________________________________
11.1. Некоторые термодинамические соотношения
При движении газов с малыми скоростями (менее 70 м/с) присущее им свойство сжимаемости (см. гл. 1) проявляется слабо, и во многих случаях с достаточной для практических целей точностью движущийся газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость. Однако при больших скоростях, сравнимых со скоростью звука и тем более превышающих ее, влияние сжимаемости может быть настолько существенным, что законы движения несжимаемой жидкости оказываются неприменимыми. Изменение плотности газа чаще всего сопровождается изменением температуры или теплообменом. В связи с этим для описания его движения наряду с уравнениями механики необходимо использовать уравнения термодинамики и соответствующие методы их анализа. В этом параграфе приведем лишь те термодинамические соотношения, которые необходимы для изложения основных законов одномерных газовых течений. Строгое обоснование этих соотношений читатель может найти в курсе термодинамики.
Кроме того, ограничимся рассмотрением одномерных течений идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния (1.16), которое можно записать в виде
p/ = RT, (11.1)
где R — газовая постоянная, зависящая только от рода газа [для воздуха R = 287,16 Дж/(кг.К)]; Т — абсолютная температура по шкале Кельвина.
Это уравнение подтверждается опытным путем тем лучше, чем выше температура и меньше давление. Заметные отклонения свойств реальных газов от свойств совершенных газов наблюдаются при низких температурах и высоких давлениях (вблизи точки сжижения), а также при высоких температурах, когда происходит диссоциация молекул.
Важнейшее значение в газовой динамике имеют энергетические характеристики газов. Движущийся газ, рассматриваемый как термодинамическая система, обладает внешней и внутренней энергией. Первая представляет собой сумму кинетической энергии направленного движения частиц газа и потенциальной энергии, обусловленной полем массовых сил. Внутренняя энергия газа
является суммой кинетической и потенциальной энергий всех составляющих его частиц (см. гл. 1 и 5).
Запас внутренней энергии зависит только от состояния термодинамической системы (газа). Изменение ее полностью определяется начальным и конечным состояниями, но не зависит от характера процесса изменения, поэтому внутреннюю энергию можно рассматривать как один из параметров состояния газа, наряду с давлением, плотностью и температурой. Изменение внутренней энергии выражают через количество работы и теплоты, которыми термодинамическая система обменивается с окружающей средой. Этот обмен подчиняется первому началу термодинамики, согласно которому изменение энергии термодинамической системы равно сумме подведенной к системе теплоты и работы, выполненной над ней окружающей средой.
Этот закон для единицы массы газа можно выразить уравнением
(11.2)
где U — внутренняя анергия; и — скорость газа; k — удельная потенциальная энергия поля массовых сил; dq — количество теплоты, подведенной извне; dl' — удельная работа окружающей среды.
Первое начало термодинамики является термодинамической формой общего закона сохранения энергии (см. п. 5.10). При движениях газов потенциальная энергия h только в редких случаях имеет практическое значение, а потому в дальнейшем не учитывается. Вместо работы dl' введем работу dl = —dl', которую газ совершает против внешних поверхностных сил. Тогда вместо выражения (11.2) можно записать
(11.3)
Работа, выполненная газом, обусловлена его давлением. В гл. 5 было показано, что на элементарном перемещении работа сил давления несжимаемой жидкости выражается дифференциалом d (р/р). Повторяя рассуждения применительно к газу, придем к этому же выражению с той лишь разницей, что здесь плотность — переменная величина. Таким образом,
где v = 1/ — удельный объем.
Теперь уравнение (11.3) запишем в виде
(11.14)
В термодинамике сумму двух полных дифференциалов dU и d (pv) представляют как дифференциал некоторой функции i, называемой энтальпией или тепловой функцией. Таким образом, эта функция определяется соотношением
или
i= U + p v = U + р/, (11.5)
где несущественная постоянная интегрирования опущена.
Уравнению (11.4) можно придать форму
dq = di + d2/2.
В частном случае адиабатного, т. е. теплоизолированного движения газа dq = 0 и, следовательно.
d (i + и2/2) = 0; i + и2/2 = const. (11.6)
Уравнение (11.6), полученное из общего закона сохранения энергии, справедливо и для течения вязкого газа при отсутствии теплообмена с внешней средой.
Рассмотрим квазистатические процессы, т. е. процессы, происходящие настолько медленно, что их можно рассматривать как последовательную смену равновесных состояний газовой среды.
Для таких процессов можно принять, что d (и2/2) = 0, а механическая работа представляет собой работу расширения газа, выражаемую формулой dl = pdv. Следовательно, вместо выражения (11.4) будем иметь
dq = dU+pdv. (11.7)
Поскольку d (pv) = pdv + vdp, используя тепловую функцию, первое начало термодинамики можно выразить уравнением
dq= di — vdp (11.8)
Понятия внутренней энергии и энтальпии тесно связаны с понятием теплоемкости газа. Если в произвольном термодинамическом процессе количество теплоты, подведенное к 1 кг газа, составляет q, а соответствующее изменение температуры T, то величину
c = lim =
T0
называют удельной теплоемкостью. В частном случае изохорного процесса (происходящего при постоянном объеме) dv = 0. Тогда согласно формуле (11.7) dU = dq
с v = дU/дТ v (11.9)
где c v — удельная теплоемкость при постоянном объеме.
Для изобарного процесса (р = const) из выражения (11.8) получим di = dq. Следовательно,
cр=дi/дТ |р (11.10)
представляет собой удельную теплоемкость при постоянном давлении.
Если принять в данном диапазоне изменения температуры удельные теплоемкости с v и cр не зависящими от температуры, то для внутренней энергии и энтальпии получим конечные соотношения
из которых видно, что внутренняя энергия U и энтальпия i являются функциями только абсолютной температуры. Это с достаточной степенью точности подтверждается опытами с газами, следующими уравнению Клапейрона — Менделеева. Рассматривая изменение состояния совершенного газа при постоянном давлении и учитывая, что при этом dU = сv dT, а согласно уравнению состояния pdv = pd (RT/p) = RdT, из уравнений (11.7) и (11.8) получим
или формулу Майера
(11.11)
В дальнейшем будем рассматривать только адиабатные течения совершенных газов. Для этого случая dq = 0 и уравнение (11.7)
может быть проинтегрировано. Используя уравнение состояния, запишем выражение (11.7) в виде
Интегрируя, находим
(11.12)
Введем параметр k = cр/сv, называемый показателем адиабаты. Согласно выражению (11.11)
Обозначив индексом «0» некоторые фиксированные значения термодинамических параметров, запишем уравнение (11.12), исключив из него величину сv:
отсюда
(11.13)
Используя уравнение состояния, получим уравнение адиабатного процесса
(11.14)
Из формул (11.13) и (11.14) вытекают соотношения
(11.15)
Адиабатный процесс для машиностроительных приложений газовой динамики представляет особый интерес в связи с тем, что при течении газов с достаточно большими скоростями через относительно короткие проточные части машин теплообмен между газовыми частицами не успевает осуществиться в заметной степени, поэтому в первом приближении газодинамические расчеты могут строиться на основе предположения об адиабатности процесса.
Поскольку при изучении газовых течений всегда имеем дело с превращением тепловой энергии или с теплообменом, то важно иметь параметр или функцию, однозначно определяющие наличие этих процессов. Такой функцией может служить величина s, определяемая дифференциальным соотношением
(11.16)
и называемая энтропией. Из определения энтропии следует, что если к термодинамической системе теплота подводится (dq > 0), то энтропия возрастает (ds > 0), при отводе теплоты энтропия убывает. Очевидно, для теплоизолированного процесса, каким является адиабатный процесс идеального газа, ds = 0 или s = const. благодаря чему этот процесс называют изоэнтропическим. При движении газа с трением общее изменение количества теплоты газовых частиц слагается из количества теплоты dqi, подводимой извне, и полученной превращением механической энергии в тепловую благодаря трению dqr.
Поэтому даже при отсутствии теплообмена с внешней средой, когда dqi = 0, при течении с трением энтропия возрастает, так как dqr > 0. Поскольку диссипация представляет собой необратимый процесс преобразования механической энергии, то для теплоизолированных процессов возрастание энтропии служит признаком их необратимости. Заметим, что помимо трения существуют и другие причины необратимых преобразований механической энергии (см. п. 10.6).
Второе начало термодинамики устанавливает, что при отсутствии теплообмена с внешней средой энтропия термодинамической системы является неубывающей функцией (ds 0). Удобное аналитическое выражение энтропии можно получить, используя формулу (11.8):
Подставляя это выражение в зависимость (11.16), получаем
Учитывая, что
или
Это дифференциальное соотношение можно записать в форме
которая допускает интегрирование. В результате получим
(11.17)
Из формулы (11.17) следует, что энтропия с точностью до постоянной полностью определяется двумя параметрами состояния T и , а значит, и сама является параметром состояния. Ее можно выразить и через другие параметры. Так, используя уравнение Клапейрона, получим следующее выражение энтропии:
(11.18)
из которого также следует постоянство энтропии для адиабатного течения идеального газа.