- •Свойства пределов функции
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Свойства сходящихся последовательностей
- •5) Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая последовательность.
- •6) Пусть последовательность – ограниченная, а последовательность – бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой последовательностью.
- •7) Пусть , – сходящиеся последовательности и
- •8) Пусть и ( ), . Тогда .
- •9) Пусть последовательности и сходятся и для любого ℕ имеет место неравенство
- •10) Пусть последовательности и сходятся и имеют равные пределы. Если для любого ℕ имеет место неравенство
- •Свойства бесконечно больших последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Свойства бесконечно больших функций
- •1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •3. Правила дифференцирования
Свойства пределов функции
1) Если существует, то он единственный.
2) Если , то .
3) Пусть функции и имеют предел при и
, .
Тогда их сумма, разность произведение и частное тоже имеют предел при , причем
а) ;
б)
(и, в частности, для любого числа ℝ);
в) (при условии, что ).
4) Пусть и существует проколотая -окрестность точки такая, что
(или ), .
Тогда .
5) Пусть функции и имеют предел при . Если существует проколотая -окрестность точки такая, что
(или ), ,
то .
6) Пусть функции и имеют предел при , причем
.
Если существует проколотая -окрестность точки такая, что
, ,
то функция тоже имеет предел при и
.
7) Если функция имеет предел при , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки (говорят: функция локально ограничена).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть . Возьмем . Тогда существует такое, что, если , то . Т.е.
, .
Рассмотрим . Имеем:
, .
Следовательно, в функция ограничена. ∎
8) Пусть , ( ℝ). Если существуют и , то сложная функция имеет предел при , причем
. (2)
Формулу (2) называют формулой замены переменной в пределе.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Свойства сходящихся последовательностей
1) Две последовательности, отличающиеся на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости.
3) Если последовательность сходится к , то последовательность сходится к .
Для доказательства достаточно заметить, что справедливо неравенство .
4) Сходящаяся последовательность ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть . Возьмем . Тогда существует номер такой, что , .
Следовательно,
, .
Пусть .
Тогда , . ∎
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным двух последовательностей и называются соответственно последовательности , , , (в последнем случае, все члены последовательности должны быть отличны от нуля).
Произведением последовательности на число называется последовательность .
Последовательность можно рассматривать также как произведением последовательностей и .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.
5) Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая последовательность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) ⇒ (Необходимость).
Пусть . Тогда для любого существует номер такой, что , . (3)
Обозначим . Тогда , причем, в силу неравенства (3), .
2) ⇐ (Достаточность).
Пусть для любого имеет место равенство и .
Тогда .
Так как – бесконечно малая последовательность, то для любого существует номер такой, что
, .
Но .
Следовательно, , ;
⇒ . ∎
6) Пусть последовательность – ограниченная, а последовательность – бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой последовательностью.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию – ограниченная. Следовательно, существует число такое, что , ℕ.
Возьмем любое число . Так как – бесконечно малая, то существует номер такой, что
, .
Рассмотрим . Имеем:
, .
Таким образом, получили, что для любого существует номер такой, что
, .
Значит . ∎
СЛЕДСТВИЕ свойства 6. Если – бесконечно малая последовательность и – сходящаяся последовательность, то их произведение является бесконечно малой последовательностью.
Действительно, так как – сходящаяся, то она ограничена (смотри свойство 4). Следовательно, по свойству 6, является бесконечно малой последовательностью.