2.1. Общий метод генерации непрерывных распределений

В общем случае распределение действительных чисел может быть выражено в терминах функции распределения , которая точно определяет вероятность того, что случайная величина не превысит значение :

.

Эта функция всегда монотонно возрастает от 0 до 1, т.е.

Если непрерывна и строго возрастающая (так что ), то она принимает все значения между 0 и 1 и существует обратная функция , такая, что для

В большинстве случаев, когда непрерывна и строго возрастающая, можно вычислить случайную величину с распределением , полагая

где – равномерно распределенная случайная величина. Действительно, вероятность того что равна вероятности того, что , а именно – вероятности того, что , т.е. .

Теперь проблема сводится к решению задачи численного анализа – к нахождению хороших методов вычисления с требуемой точностью.

Этот метод хорошо применять, когда существует однозначное преобразование. Для нормального закона (который является одним из самых распространенных) это не так.

Рассмотрим два основных способа генерации чисел имеющих нормальное распределение.

2.2. Генерация чисел, по нормальному закону с использованием центральной предельной теоремы

Центральная предельная теорема утверждает, что случайная величина равная:

Имеет нормальное распределение с некоторым математическим ожиданием и дисперсией.

Как уже было сказано выше, в нашем распоряжении есть генератор равномерно распределенных случайных чисел, мы можем воспользоваться им для генерации случайных величин .

Тогда для получения случайной величины с нужными нам параметрами можно воспользоваться следующей формулой:

,

где – количество слагаемых, при этом чем больше , тем лучше качество работы генератора, но тем больше время его работы. Оптимально брать 12 ≤  ≤100. и – желаемые параметры для случайной величины .

3. Статистическая проверка гипотез

Все необходимые формулы и таблицы с пороговыми значениями для разных статистик приведены в основном учебном пособии дисциплины.

Общая блок-схема для реализации проверок гипотез представлена на рисунке 3.1.

№1.

Исследование алгоритмов проверки гипотезы о математическом ожидании

Цель работы: реализация и исследование решающего правила проверки гипотезы о математическом ожидании.

В качестве объекта для исследования следует использовать нормально распределенную случайную величину .

Входные данные: параметры случайной величины (математическое ожидание и дисперсия), объем выборки , уровень значимости , известная величина для которой будет производится проверка гипотезы.

Следует рассмотреть оба случая:

• двупороговую процедуру распознавания:

• однопороговую процедуру распознавания:

Пороговые коэффициенты можно реализовать в виде статического массива «зашитого» в программу или в виде внешнего файла (что более предпочтительно).

Для получения оценок математического ожидания и дисперсии объекта (так как они необходимы для вычисления статистики и дальнейшей ее проверки в решающем правиле) необходимо сгенерировать (с использованием одного из вышеописанных методов генерации нормально распределенных случайных величин) выборку объема и вычислить оценки по этой выборки. Рекомендуемый объем выборки .

Программный стенд, реализованный в рамках расчетно-графической работы, должен позволять исследователю (студенту в процессе выполнения работы и преподавателю в процессе приема работы у студента) вводить все выше перечисленные входные данные, выполнять одиночные проверки, а так же реализовывать исследование зависимости решающего правила проверки гипотезы о математическом ожидании от объема выборки.