- •Частота изменяется при изменении числа опытов.
- •Частота зависит от самой серии опытов, т.Е. Если серию опытов повторить, то частота может быть другой.
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей
- •3 .3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Дискретные - если возможные значения св (значения, которые она принимает) могут быть перечислены. Например, число попаданий в мишень при п выстрелах, число вызовов на атс и т.Д.
- •Непрерывные - если возможные значения св непрерывно заполняют некоторый промежуток. Например, расстояние от точки попадания до центра мишени, время безотказной работы блока устройства.
- •Биномиальное распределение.
1.7. Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.
Пусть Е - пространство элементарных событий, a Q - класс событий (набор подмножеств множества Е). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.
Пример 11. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь Е - {ех, ег,..., е6}. Выпишем все события, которые образуют Q. Тогда {0, s ’ ^5}’ > ^2 » }»*••> fei > ^1 ^s}—
Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и 0 равно 2N . Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно 26 = 64 .
Определение 2. Числовая функция Р, определяемая на классе событий
О, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:
VAeil: P(A)t 0;
Р(Е) = 1;
Если -4,, А2Ап несовместные события, то
р(а} +а2 +...+л„)=р(л1)+р(а2)+:..+р(л;!).
Из этого определения следуют свойства:
Р(А) = 1-Р(А) V^efi.
Действительно, так как А + А = Е => Р(А+А) = Р(Е) и, с учетом
аксиом 2 и 3, получаем Р(А) + Р(А) = 1 .
/>(0)= 0 .
Действительно, так как Е — 0 , то с учетом свойства 1 и аксиомы 2, получаем /40) *= Р(Е) = 1 — Р(Е) = 1 — 1 = 0.
Если А,,А2,...,Ап образуют полную группу событий, т.е.
Л, + Л2 +...+ - Е, то ЛЛ|) + /,(Л7)+ - +^К) = 1.
Это следует из аксиом 2—3.
10iP(A)S\ VAeQ,
'fio следует ш свойства 3 и аксиомы 1.
Теорема умножения вероятностей
Определение 1. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется вероятность, определяемая формулой
_, вч Р{АВ)
РЛВ)
= ’ (1)
,'Р{А) КЧ
Это можно легко показать для случая классического определения вероятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и проиллюстрируем её на примере.
Пример 1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: А - первым вынут белый шар, В - вторым вынут синий, тогда АВ - вынуты по очереди белый и синий шары.
3 С1-С1 9 3
Найдем вероятности: 1Щ I =—; Р(АВ) = — =—=— подста
вив эти вероятности в формулу (1), убеждаемся, что она справедлива.
Определение 2. Если РА(В) = Р(В) и РВ(А) = Р(А), то такие события называются независимыми.
"Теорема 1. УА,ВеС11 Р(АВ) = Р(А)РЛ(В) = Р(В)Р„(А). (2)
Это следует из формулы (1).
Следствие 1. Для независимых событий Р(АВ)= Р(А)Р(В).
Следствие 2. Если обозначить Р(А1) = р: и Р(А^)=д{, то вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна
Р_(А1=1~_3192"д-'
Рассмотрим событие А1 А2... А п - ни одного из событий А\ не наступило. Тогда по следствию 1 из определения вероятности получим Р(А) = 1 - Р(11А2...АЯ) = 1 - д,д2..дя.
Теорема сложения вероятностей
Теорема2. УА,ВеП: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (4)
Из диаграммы событйй легко получить_равенства:
А + В = Л + ВА'? В = АВ + АВ, где А, В А и АВ, А В - попарно несовместные события.
Тогда, согласно третьей аксиоме, получаем Р(Л,+ В) = Р\А) + Р(ВА) и Р(В)= Р(АВ) + Р(АВ).
Если из последнего равенства выразить Р(АВ) Р(В) - ^
подставить в первое, то получим формулу (4).
Следствие 3. Если А и В — несовместные события, то получаем третью аксиому.
Пример 2. Вероятности попадания при Двух выстрелах соответственно равны рх =0,8; р2= 0,9. Найти вероятность поражения цели.
Вероятность поражения цели представляет собой событие А + В, где событие А - поражение цели при первом выстреле, а событие В - поражение при втором выстреле.
Первый способ: По теореме сложения вероятностей получаем Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ) = 0,8 + 0,9-0,72 = 0,98.
Второй способ: По формуле (3) получаем
Р(А + В) = 1-^2 =1-0,2 0,1 = 0,98.
Пример 3. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: 0,05; 0,06; 0,08. Найти вероятности событий:
Откажет один элемент.
Введём события: А - интересующее нас событие; В - отказал первый элемент; С - отказал второй элемент; Г) - отказал третий элемент.
Тогда
А = ВСГ> + ВС1) + ВСВ
и, согласно теоремам об умножении и сложении вероятностей, получим
Р(А) = Р(В ■ С • 5) + Р(В ■ С ■ 3) + Р(В • С • В) =
= 0,05-0,94-0,92+ 0,95-0,06-0,92+ 0,95-0,94-0,08 = 0,167.
Ни один элемент не откажет.
Здесь интересующее нас событие А = В • С ■ '3 и тогда Р(А) = Р( В ■ С• В) = 0,95 • 0,94 • 0,92 = 0,8216.
Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий В), В2,..., Вп г образующих полную группу событий. Будем называть их гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез:
Р(Вг),..., Р(Вп) и условные вероятности: Рв,Ы)> ”вг (") в„ (А).
/огда имеет место формула полной вероятности Теорема 3,
Г<Л,*£пн^Р,и)~Р(В1)Р,1(А)+Р(В1)Р,,(А)+..лРЮР1.(А'>- (5) Щ
Тогда по третьей ахсиоме и теореме умножения вероятностей
получим
Р(А) = Р(ЛВ1) + Р(АВ2) + ... + Р(АВи) = = Р( Я, )РВ, (Л) + Р(В2 )РВ} (А) +... + Р(Вп )РВй (А).
Пример 4. Три станка выпускают одинаковую продукцию. Первый станок выпускает 20%, из них - 5% брака, второй - 30% и 3% брака, третий - 50% и 2% брака. Из общей партии берётся наудачу деталь. Какая вероятность того, что эта деталь бракована?
Пусть А - интересующее нас событие, в качестве гипотез рассмотрим события:
; 5, - деталь изготовлена на первом станке, Р(Вг) = 0,2; Рй (А) = 0,05;
В2"‘ деталь изготовлена на втором станке, Р(В2) = 0,3; РВг(А) = 0,03;
В3 - деталь изготовлена на третьем станке, Р(ВЪ) = 0,5; РВ (А) = 0,02.
Тогда по формуле (5) получим
Р(А) = Р(Вх)РВ1 (А) + Р(В2)РВг (А) + Р(В3)РВ: (А) = = 0,2-0,05 + 0,3 0,03 + 0,5-0,02 = 0,029.
Формула Бейеса
У
или, с учетом формулы полной вероятности, получаем
(6)
щ
Пример 5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, т котором находится бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2.
словия такие же, как и для формулы полной вероятности. Пусть событие А произошло, тогда вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса.вероятность того, что будет заправляться грузовая равна 0 1 К заправке подъехала машина. Найти вероятность того, что ІІЩЩІ
В ведём гипотезы:
3
В!-подъехала грузовая машина, °С® і) = Т I ^в, (Л) = од,
2
В2 - подъехала легковая машина, Р(Вг) = ~ Ї ^в2(^) = 0,2.
Тогда по формуле (6) получаем
Р(В) 0.6 0.1 0^ з
Д 0 Р(В,)РВі(А)+Р(В2)РІк(А) 0,6 0,1+0,4 0,2 0,14 = 7'
Повторение испытаний
Независимые испытания. Формула Бернулли
Испытание - это осуществление определённых условий, в результате которых может произойти то или иное элементарное событие пространства Е. Если число исходов испытания - т, то назовём событие Л1 - щ исходом (і — 1, 2,..., т). Обозначим Р\ — ^(Д ) и будем считать, что все
т
события Аі образуют полную группу событий, тогда
Пусть произведено п испытаний.
Определение 1. Если исходы испытания в каждом опыте не зависят от предыдущих исходов, то испытания называются независимыми.
Например, при бросании игральной кости, исходы: выпало одно, два очка и т.д. не зависят от предыдущих очков — испытания независимые.
Рассмотрим случай ТП = 2 (схема Бернулли). Положим р\= Р> Рг ~1-Рг ~Ч, т.е. Р(А) = р, Р(А) =4 .
Рассмотрим следующую задачу. Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Требуется найти Щ ЙЙ - вероятность того, что событие А появится к раз, а событие А появится п — к раз.
Рассмотрим в какой либо последовательности чередование событий А и А так, чтобы А повторялось к раз, а событие А появилось п — к раз. Это событие В — А А А А А-... А. По теореме умножения вероятностей получаем
Р(В) = Р(А)Р(А)Р(А)Р(А)Р(А)...Р(А) = V \
По теореме сложения вероятностей Рп(к) равна сумме тагих вероятностей для веек различных способов появлений события А (к раз
Г*
из п), т.е. их число Чв к\(п-к)\‘ ^0СК0ЛЬКУ 800 уги вероятности равны, то получаем формулу Бернулли
Замечание 1. Так как все возможные исходы (событие >4 появилось
О раз, 1 раз,..., п раз) образуют полную группу событий, то
р,(о)+ЗД+ад+...+ад=£ад=і-
*=о
Пример 1. Студент выучил 18 вопросов из 30, вынесенных на зачет. На зачете преподаватель предлагает ответить на три вопроса и в случае правильного ответа на два вопроса студент получает зачет. Найги вероятность сдачи зачета.
Очевидно, что вероятность правильного ответа студента на случайно
выбранный вопрос равна Р — = 0,6, а вероятность неправильного
ответа ^ = 1 —/7 = 0,4.
Для получения зачета студент должен ответить на два из трех или на все три вопроса, т.е. вероятность сдачи зачета
Р = Р,( 2) + Р3(3) = Сір’д + С’рУ =
= й)2.0,4 + ^-І (0,6)! 1 = 3 0,144 + 0,216 = 0,648.
1-2 1-2-3 .
Пример 2. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0, 96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.
Если р * - вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах, то
р* - 0,96 -1 -д2 => 4 = 0,2, тогда вероятность одного попадания р = 0,8 и вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах
Ра(3)= змГЇ'(0,8)3' °’2 = 0’4096 •
Рассмотрим более общий случай, когда при п испытаниях число исходов каждого испытания ш > 2 и пусть р | - вероятность того, что событие Аі произойдет (Ї * 1, 2, 3, ..., їй) .
Тогда вероятность того, что событие Ах произойдет рад
А 2 произойдет к 2 раз, ... И событие Ат произойдет к п„ж|0 :1 : ■ • раз, йЦ
ляется по формуле
?„(*,, к2,...,кт) =
где Л,
Пример 3. Игральная кость брошена 10 раз. Найти вероятность того что одно очко выпадет два раза, два очка - ни разу, три очка - один щ четыре очка-два раза, пять очков-три раза и шесть очков - два раза
Здесь количество исходов испытаний
кг = 2, к2 = 0, £3 = 1., *4 = 2, к5 = 3, к6 = 2, а вероятности этих исходов
1
Аг ~Рг - А ~ Р* 5т Рз ВРб ъ 7*
о
Тогда найдем искомую вероятность по формуле (2)
Ло(2» 0,1, 2, 3, 2) =
— Г-| = 0,00125.!• 0!-1 !• 2!-3 !* 2! 1б
Локальная теорема Муавра — Лапласа
При больших значениях п формулу (1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.
Теорема 1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность Р„(к) при больших п приближенно равна значению функции
_ к - пр при (3)
\inpq
Значения функции (р(х) берутся из таблицы (прил. 1), при этом <р(х) - четная функция, т.е. <р(~х) = <р(х) .
Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется половина мальчиков.
Вероятность такого события вычисляем по формуле (3) при п — 100 и к - 50. Имеем
50-100-0,51
-0,2,
VI00 0,51 0,49
/>'“(50) * >»:оТ»-,.49*°-2)■ '-Щ-- где значение <р(0,2)ї= 0,39.10 взято из таблицы значений функции <р(х).