Примеры заданий с решениями по теме
Задание №1. Шайба 1, скользившая по
шероховатой горизонтальной поверхности,
испытала соударение с покоившейся
шайбой 2. После столкновения шайба 1
отскочила под прямым углом к своему
первоначальному направлению и прошла
до остановки путь
м,
а шайба 2 – путь
м.
Найти скорость шайбы непосредственно
перед столкновением, если ее масса в
раза меньше массы шайбы 2 и коэффициент
трения равен
.
Решение:
Изобразим на рисунке импульсную диаграмму столкновения шайб в соответствии с условием задачи.
Закон сохранения импульса в векторной форме будет иметь вид:
(1)
Согласно рисунку вектора импульсов образуют прямоугольный треугольник. Следовательно, в скалярной форме закон сохранения импульса примет вид:
(2)
Движение шайб после столкновения является равнозамедленным, так как происходит под действием сил трения:
(3)
где - номер соответствующей шайбы.
Сила реакции опоры уравновешена силой тяжести:
(4)
Подставляя (4) в (3), получаем ускорения шайб:
(5)
Из (5) видно, что ускорения одинаковы.
Тормозные пути и скорости после столкновения связаны с ускорением соотношениями:
(6)
(7)
Подставляя (7) в (6) и избавляясь от времени, получаем:
;
(8)
Подставляя (8) в (2), находим скорость первой шайбы в момент удара:
(9)
(10)
м/с
Ответ: ; м/с
Задание №2. Летевшая горизонтально
пуля массы
попала, застряв в теле массой
,
которое подвешено на двух одинаковых
нитях длины
.
В результате нити отклонились на угол
.
Считая
,
найти: скорость пули перед попаданием
в тело; относительную долю первоначальной
кинетической энергии пули, которая
перешла во внутреннюю энергию.
Решение:
В результате взаимодействия пули и тела, представленных на рисунке, пуля передала свой импульс телу, сообщив ему кинетическую энергию. Взаимодействие пули и тела в данной задаче носит неупругий характер.
Закон сохранения импульса для данной задачи имеет вид:
(1)
Кинетическая энергия образованной системы полностью преобразовалась в потенциальную энергию в поле силы тяжести:
(2)
где - высота тела по отношению к его начальному положению. Из рисунка и в соответствии с условием задачи она равна:
(3)
Подставляя (3) в (2), находим выражение для скорости, приобретенной телом при попадании в него пули:
(4)
Далее подставляя (4) в (1) и учитывая, что , выражаем искомую скорость пули:
(5)
Внутренняя энергия, выделяемая при ударе, равна разности начальной и конечной кинетической энергии взаимодействующих тел:
(6)
Относительная доля первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла во внутреннюю энергию определяется соотношением:
(7)
Подставляя (4) и (5) в (7), получаем:
(8)
Ответ:
,
.
Задание №3. Потенциальная энергия
частицы в некотором поле имеет вид:
,
где
и
- положительные постоянные,
- расстояние от центра поля. Найти
значение
,
соответствующее равновесному положению
частицы; выяснить устойчиво ли это
положение; найти максимальное значение
силы притяжения.
Решение:
Равновесие имеет место тогда, когда результирующая сила обращается в нуль. Вид потенциальной энергии говорит о том, что это энергия центрального поля. Центральные силы, как известно, являются консервативными и потенциальными, Следовательно, центральные силы связаны с потенциальной энергией по формуле:
(1)
Подставляя в (1) выражение для потенциальной энергии, приведенное в условие задачи, находим выражение для центральной силы:
(2)
Приравнивая силу к нулю, находим :
(3)
(4)
Устойчивость равновесия определяет знак второй производной по в точке :
Так как знак отрицательный, то это указывает на вогнутость функции в . Это указывает на устойчивость данного равновесия.
Для того, чтобы найти максимальное значение силы, необходимо решить задачу на нахождение экстремума функции, роль которой играет сила, а роль аргумента – расстояние от центра поля . Поэтому продифференцируем (возьмем производную) выражение для силы по и приравняем к нулю:
(5)
(6)
Подставляя (6) в (2), получаем максимальное значение силы притяжения:
(7)
Ответ:
, устойчиво, 
.