4.2. Правило Крамера решения слау

Теорема 4.1. Рассмотрим СЛАУ из n уравнений с n неизвестными:

Если определитель системы то существует единственное решение системы, определенное формулой:

.

Замечание. Если =0, а хотя бы один из определителей _i0, то система несовместна.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение.

.

Применим правило Крамера:

Проверка: 1+22-3=2 – верно; 31-22+3=2 – верно; 1-52+23=-3 – верно.

Таким образом, система имеет единственное решение (1; 2; 3).

4.3. Метод Гаусса решения слау

• Две СЛАУ называются эквивалентными (равносильными), если их решения совпадают.

Если в данной СЛАУ поменять местами уравнения, или умножить какое-либо уравнение (обе его части) на число, не равное 0, или заменить одно из уравнений суммой его и какого-либо другого уравнения этой системы, то получится СЛАУ, эквивалентная данной. Такие преобразования являются элементарными преобразованиями системы. Им соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы .

• Методом Гаусса называется приведение расширенной матрицы системы при помощи элементарных преобразований строк к упрощенному виду, в котором в левой части расширенной матрицы находится верхнетреугольная матрица. После этого из СЛАУ, соответствующей полученной расширенной матрицы, неизвестные легко находятся последовательным вычислением.

Этот метод применим для любых СЛАУ, в том числе вырожденных и прямоугольных.

Пример 1.

Решение:

Последняя строка полученной расширенной матрицы соответствует уравнению

;

далее, из второй строки получаем:

;

наконец, из первой строки:

.

Таким образом, система имеет единственное решение (1; -1; 2).

Пример 2.

Решение. Поскольку ни один коэффициент в первом столбце не является единицей, что было бы удобно для обнуления остальных коэффициентов, мы можем предварительно получить нужную единицу, например, вычтя из первой строки расширенной матрицы вторую строку:

Последняя строка полученной расширенной матрицы соответствует тривиальному уравнению:

.

Это уравнение является тождеством при любых значениях переменных. Следовательно, мы не можем, как в предыдущем примере, определить из этого уравнения значение переменной z в решении системы. Она может принимать любые действительные значения: . Заметим, что в таком случае эту переменную принято называть свободной.

Далее, из второй строки:

,

и из первой строки:

.

Таким образом, система имеет бесконечно много решений вида

.

Пример 3.

Решение.

последняя строка соответствует уравнению

, которое не является тождеством ни при каких значениях переменных. Следовательно, данная система не имеет решений, то есть противоречива.

Т ЕМА II – ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§5. Векторы

5.1. Основные понятия

• Рассмотрим направленный отрезок прямой на плоскости или в пространстве, пусть А – начальная точка этого отрезка, В – конечная

точка. Такой отрезок называется вектором и обозначается . Точки А и В называются началом и концом вектора соответственно. Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора: .