Введение
Учебно-методическое пособие для практических занятий и самостоятельной работы студентов «Теория вероятностей» предназначено студентам, обучающимся по специальностям «Экономика и управление на предприятиях АПК» и «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», бакалаврам по направлениям «Экономика» и «Менеджмент» очного и заочного отделений Ижевской ГСХА.
Данное пособие написано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта и примерной программой дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием РФ в 2000 г.
Пособие состоит из двух частей: «Случайные события» и «Случайные величины». В начале каждого пункта приводятся краткие теоретические сведения: определения основных понятий, формулировки теорем, соответствующие формулы. Далее следуют примеры решения типовых задач различной степени сложности. Затем предлагаются задачи для аудиторного решения под руководством преподавателя и задачи для самостоятельного решения.
В приложениях приведены задачи для подготовки к контрольным работам по теории вероятностей, дополнительные задачи для самостоятельного решения, тесты по курсу теории вероятностей, теоретические вопросы для подготовки к экзамену по теории вероятностей и необходимые таблицы значений функций Гаусса, Лапласа и экспоненциальной функции для решения задач.
Часть 1. Случайные события
Комбинаторика
Пусть имеется множество, состоящее из п различных элементов. Комбинациями называются любые подмножества этого множества.
Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.
Количество
перестановок из п
различных элементов обозначают
и вычисляют по формуле
,
где
(п!
– читается «эн факториал»).
Пример 1. Сколькими способами можно рассадить трех гостей на три места?
Решение. Обозначим гостей А, В, С. Тогда возможными способами рассадить гостей будут перестановки из трех элементов:
1) АВС, 3) ВСА, 5) САВ,
2) АСВ, 4) ВАС, 6) СВА,
то есть количество комбинаций равно 6. Этот же результат можно получить сразу по формуле:
.
Сочетаниями
из п
элементов по k
элементов называются комбинации,
содержащие k
элементов из данных п
элементов, которые отличаются только
составом
элементов. Количество сочетаний из п
элементов по k
элементов обозначают
и вычисляют по формуле
.
Пример 2. Сколькими способами можно отобрать двух человек из четырех претендентов на 2 вакантных места?
Решение. Обозначим претендентов А, В, С, D. Тогда возможными комбинациями будут АВ, АС, АD, ВС, ВD, СD – то есть 6 комбинаций. Этот же результат получаем по формуле:
.
Размещениями из п элементов по k элементов называются комбинации, содержащие k элементов из данных п элементов, отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком.
Количество
размещений из п
элементов по k
элементов обозначают
и вычисляют по формуле:
.
Пример 3. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
Решение. Из данных цифр 1, 2, 3, 4 можно составить следующие двузначные числа: 12, 21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34, 43. Получается 12 чисел. Эти числа отличаются либо составом (например, 12 и 13), либо порядком (12 и 21), то есть являются размещениями, поэтому сразу результат можно найти по формуле:
.
Примечание. При решении некоторых задач подсчет количества комбинаций производят исходя из смысла задачи.
Пример 4. Монета подбрасывается 2 раза. Сколькими способами возможно выпадение герба и решки?
Решение. Обозначим Г – выпал герб, Р – выпала решка. Возможны следующие исходы двух подбрасываний монеты: ГГ, РР, ГР, РГ – то есть 4 способа (полученные комбинации не являются ни перестановками, ни размещениями, ни сочетаниями).
Пример
5. Вычислить
значение выражения
.
Решение.
.
Пример 6. Вычислить
значение выражения
.
Решение.
