- •1. Эконометрика как наука. Предмет эконометрики.
- •2. Критерии и принципы эконометрики.
- •3. Цели и задачи эконометрики.
- •4. Введение в эконометрическое моделирование
- •5. Основные этапы эконометрического моделирования.
- •6. Функциональная, стохастическая и корреляционная зависимости.
- •7. Парная линейная регрессия.
- •8. Коэффициент корреляции.
- •9. Основные предположения регрессионного анализа.
- •10. Оценка значимости уравнения регрессии.
- •11. Коэффициент детерминации.
- •12. Множественный регрессионный анализ.
7. Парная линейная регрессия.
Линейное уравнение парной регрессии имеет вид: ŷ = b0 + b1 · x, где ŷ — оценка условного математического ожидания y; b0 , b1 — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению. Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Г(т) и мощностью пласта Дм) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в п = 10 шахтах.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
8 |
11 |
12 |
9 |
8 |
8 |
9 |
9 |
8 |
12 |
yi |
5 |
10 |
10 |
7 |
5 |
6 |
6 |
5 |
6 |
8 |
Полученная зависимость графически точками координатной плоскости. Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции. По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными Х и Y. Коэффициент bi называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) Y по X. Коэффициент регрессии У по X показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.
Поэтому уравнение регрессии (3.2) будем искать в виде линейного уравнения: ŷ = b0 + b1 (3.3). Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры b0 и b1 выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений yi от значений ŷ, найденных по уравнению регрессии (3.3), была минимальной: . (3.4) Для оценки параметров bo и b1 возможны и другие подходы. Например, согласно методу наименьших модулей следует минимизировать сумму абсолютных величин отклонений . Однако метод наименьших квадратов существенно проще.
Средние величины находятся по формулам: ; ; ; ; где n – кол-во. Уравнение регрессии будем искать в виде: . (3.12) Коэффициент b1 наз-ся выборочным коэффициентом регрессии или просто коэффициентом регрессии Y по X. Y по X. Показывает на сколько единиц в среднем изменяется переменная y при увеличении переменной x на 1. , где cov – ковыряция, Sx2 – выборочная дисперсия переменной х; cov(x,y) – выборочная ковыряция. .
8. Коэффициент корреляции.
Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим случай линейной зависимости вида (3.12). На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи Y от X является коэффициент регрессии b1, т.к. он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется Y,. Однако b1 зависит от единиц измерения переменных.
Поэтому воспользуемся системой, которая использует в качестве единицы измерения переменной ее среднее квадратическое отклонение s. Величина (3.17) показывает, на сколько величин Sy изменится в среднем Y, когда X увеличится на одно Sx. Величина r является показателем тесноты связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции).
Если r> 0 (b1> 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если г < 0 (b1 < 0), — обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой. Тогда r будет ровно: . (3.18)
Свойства коэффициента корреляции r:
1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т. е. -1 ≤r≤1. Чем ближе |r| к единице, тем теснее связь.
2. При r = ±1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии
3. При r =0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси Ох.