- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А. Семинары по дисциплине «Медицинская и биологическая физика» для специальности «Стоматология».
- •Тема 1: «Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».
- •Актуальность темы.
- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А.
- •Семинар 1
- •Элементы дифференциального исчисления.
- •Основные вопросы:
- •1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.
- •2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.
- •3.Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.
- •Производные сложных функций.
- •4. Физический смысл производной. Градиент функции.
- •5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.
- •6.Графики производных функций
- •7.Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.
- •8.Функции нескольких переменных. Частные производные.
- •9.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
- •2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов
- •Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.
- •I. Непосредственное интегрирование.
- •II. Метод замены переменной (метод подстановки).
- •4.Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.
- •5. Задания для самостоятельной работы.
- •2.Порядок обработки результатов прямых измерений.
- •3.Порядок обработки результатов косвенных измерений.
- •4.Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.
- •5.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.
Пусть некоторая функцияf(x) задана графически (например, см. рис.3), надо определить значение ее производной в некоторых точках А, В, С, D… графика этой функции (т.е при разных x). Геометрический смысл производной заданной функции состоит в том, что эта производная равна тангенсу угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и положительным направлением оси x.
Из рисунка видно, что если функция возрастает, производная положительна (=tg α, α - острый угол, tg α >0), если функция убывает, производная отрицательна (=tg β, β – тупой угол, tg β < 0). Если функция имеет максимальное (точка B) или минимальное значение (точка D), то касательная в этих точках экстремума параллельна оси x и производная f(x) при x = x2 и x = x4 равна нулю (tg 0 = 0).
Максимум и минимум функции можно различать между собой по знаку второй производной заданной функции в соответствующих точках. В точке максимума y'' < 0, а в точке минимума у'' > 0.
Исследование функции на максимум и минимум (на экстремум) рассмотрим на примере задачи 1 (стр.3).
Итак, надо ответить на вопрос: при какой дозе лекарства x реакция организма r будет максимальна?
Напомним, что r = x2 (a – x) = ax2 – x3, a > 0.
1. Найдем первую производную от заданной функции:
r' = 2ax – 3x2
Приравняем эту производную нулю и решим уравнение:
2ax – 3x2 = 0, x(2a – 3x) = 0, решения уравнения: а) x = 0, оно лишено смысла, б) x = 2a/3.
Найдем вторую производную от r (первую производную от r'):
r'' = 2а – 6x,
Определим ее значение при x = 2a/3, r'' = - 2а < 0.
Следовательно, именно при x = 2a/3 реакция организма r будет максимальна.
В данной задаче величина а для каждого препарата определяется из экспериментальных данных.
6.Графики производных функций
В практической медицине часто приходится сопоставлять график изменения некоторой величины, например, со временем с графиком производной этой величины. В частности, в методе, называемом реопародонтография (см. лекцию №…) регистрируется зависимость объема кровенаполнения V исследуемого участка сосудистой системы от времени, т.е. V(t), и зависимость первой производной этой функции, которая определяет изменение скорости кровенаполнения. Примеры можно продолжить.
Для нескольких простых функций приведем графики самих функций и их производных.
7.Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.
Дифференциал заданной функции y = f(x) равен произведению значения производной этой функции в данной точке на дифференциал аргумента (d – символ дифференциала):
(9)
Можно показать, что дифференциал аргумента dx равен приращению аргумента Δx.
Дифференциал функции не равен приращению функции (dy ≠ Δy), но при малых приращениях Δх:
Δy ≈ dy (10)
Последний результат важен в прикладном отношении: зная дифференциал функции, можно оценить изменение этой функции и наоборот.
Приведем несколько примеров.
Найдем приближенное приращение функции y = 2x2 + 7 при x = 2 и
Δx = 0,0001.
Решение: Δу≈ dy; dy = y' dx; dy = 4x dx или Δy ≈ 4x Δx
Таким образом, Δу ≈ 4 · 2 · 0,0001 = 0,0008.
2.Рассмотрим шарообразную клетку радиуса R (например, эритроцит в венозном русле), которая, не изменяя формы, увеличивается в объеме. Объем (V = f(R)). Оценим изменения объема клетки ΔV, если ее радиус увеличился от 2,5 · 10-3 до 2,6· 10-3 см.
Решение: ΔV≈ dV = V'dR = = 4π R2ΔR = 7,85 · 10-9 см3.